Demuestra esta integral relacionada con el modelo de Ising

Question

Me encontré con esta integral al aprender el modelo de Ising. Sin campo externo, la solución de Onsager de una red cuadrada 2D con $J_2=0$ debería ser igual a la solución de un modelo de Ising 1D, lo que lleva a esto

$$ \int_0^{2\pi}\ln \left(\cosh 2K-\sinh 2K\cos\theta\right)\,\mathrm{d}\theta=4\pi\ln\cosh K $$ donde $K\in\mathbb{R}$. Probé esta integral numéricamente usando Mathematica y se cumple. Pero quiero demostrarlo.

Intenté dividir el LHS así

$$ 2\pi\ln\cosh2K+\int_0^{2\pi}\ln(1-\tanh 2K\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta $$ y expandir la función logaritmo usando series de Taylor, pero luego el resultado de la integración se convirtió en una serie complicada

$$ -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}\frac{2\pi}{4^n}\binom{2n}{n}\tanh^{2n}2K $$ que no se relaciona fácilmente con el RHS. ¿Alguien tiene una mejor idea? El modelo de Ising es famoso, así que esto puede haber sido hecho hace mucho tiempo.

Answer 1

Supondremos que $K$ es real y positivo.

Sea $c = \cosh K$ y $s = \sinh K$. Observa que $\cosh(2K) = c^2+s^2$ y $\sinh(2K) = 2sc$.
La integral en cuestión $\mathcal{I}$ es igual a

$$\begin{align}\mathcal{I} &= \int_0^{2\pi} \log(c^2+s^2 - 2sc\cos\theta) d\theta = \int_0^{2\pi} \log((c -s e^{i\theta})(c - s e^{-i\theta})) d\theta\\ &= 2\Re\left[\int_0^{2\pi} \log(c - se^{i\theta}) d\theta\right] \end{align} $$ Cambiar la variable a $z = e^{i\theta}$, la integral dentro del corchete se puede reescribir como una integral de contorno sobre el círculo unitario.

$$\mathcal{I} = 4\pi\Re\left[\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1} \log(c - sz) \frac{dz}{z}\right]$$

Observa que $c > s > 0$, la función $\log(c - sz)$ es entera sobre algún círculo abierto que contiene el disco unitario cerrado. Por la fórmula integral de Cauchy, obtenemos $$\mathcal{I} = 4\pi\Re\left[ \log(c- s\cdot 0))\right] = 4\pi\log(c) = 4\pi\log(\cosh K)$$