Para un primer entero $p$ $pR$ un ideal maximal en $R$?

Question

Si $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $p$ es un número primo, entonces es $pR$ un ideal maximal de a $R$? Si no ¿qué condiciones debo imponer a $R$?

Answer 1

Un ejemplo tonto : en el campo de los números reales, $\mathbb{R}$. Claramente $p\mathbb{R}=\mathbb{R}$, lo $\mathbb{R}/p\mathbb{R} \cong \lbrace 0\rbrace$. Más interesante: Vamos a $R=\mathbb{Z}[x]$. $\mathbb{Z}[x]/p\mathbb{Z}[x] \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$ que no es un campo de batalla!

Answer 2

También hay un montón de ejemplos en contra, aparte de los campos. Por ejemplo, $p$ podría ser una unidad, incluso si $R$ no es un campo, por ejemplo, en $\mathbf Z [\frac{1}{p}]$ o $p$ podría no ser irreductible, e.g en $\mathbf Z[i]$ tenemos $(1+i)(1−i)=2$.

Answer 3

Un primer $p$ no es primo en $\mathbb Z[\sqrt p]$ porque $(\sqrt p)^2 \in p\mathbb Z[\sqrt p]$ pero $\sqrt p \notin p\mathbb Z[\sqrt p]$. Por lo tanto $p\mathbb Z[\sqrt p]$ no es un primer ideal de $\mathbb Z[\sqrt p]$.

Por lo tanto, no prime sigue siendo el primer en el anillo de todos los enteros algebraicos.