Yo no soy un experto en esta área, pero se me ocurre para ver algunas de las referencias más recientemente, para la equivalencia 1. No estoy seguro acerca de la equivalencia 2. Las siguientes son las referencias de los textos. Mis comentarios son dadas como observaciones.
Referencias [1]
Deje $\Bbb T^d=\Bbb R^d/\Bbb Z^d$ denotar el aditivo $d$-dimensiones toro. Este es un compacto grupo abelian, y cualquier continua surjective endomorfismo $T:\Bbb T^d\to \Bbb T^d$ es de la forma
$$T(x)=T_A(x),$$
donde $A$ es no-singular $d\times d$ entero de la matriz, y $T_A$ está definido por
$$T_A \begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\ x_d\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_d\end{bmatrix} \pmod 1$$
Asumir la transformación de la $T_A$ es un automorphism (es decir,$\det(A)$$\pm 1$.) A continuación, la transformación de $T_A$ se dice $\textit{expansive}$ si hay una constante $\delta>0$ con la propiedad de que para cualquier par $x\neq y\in \Bbb T^d$, hay un $n\in\Bbb Z$ con la propiedad de que
$$\rho(T_A^n x,T_A^n y)>\delta$$
$\textbf{Lemma 2.9}$ El invertible transformación de $T_A$ es muy amplio, si y sólo si no autovalor de a $A$ tiene unidad de módulo.
Este resultado puede ser visto directamente usando el Jordan en la forma de la complexified de la matriz (descrito en [2], capítulo 8) o como parte de la teoría general de la hiperbólica de los sistemas dinámicos (ver [3]). Eisenberg en [4] demostró que el análogo de la declaración de matrices de actuar en espacios vectoriales topológicos (que por real espacios vectoriales implica el toral resultado) a través de cualquier no-discretas topológico de campo.
Comentario: Aquí las condiciones de $\det(A)=\pm 1$ y valores propios de a $A$ no son de la unidad del módulo se corresponden con sus declaró definición de hiperbólico. El texto sólo da constancia de la dimensión 2, aunque no proporcionan referencias para el caso general. También, usted puede descargar [4] libremente.
Referencias [2] (página 143)
Deje $A$ ser un automorphism de la $n$-toro, y $[A]$ la matriz correspondiente. A continuación, $[A]$ es expansivo iff $[A]$ no tiene autovalores del módulo 1.
Prueba:
Deje $d$ ser la métrica dada por
$$d(\{x_n\},\{y_n\})=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{|x_n-y_n|}{2^{|n|}}.$$
Supongamos $\{x_n\}\neq \{y_n\}$. Luego de algunos $n_0,x_{n_0}\neq y_{n_0}$ y
\begin{align*}
d(T^{n_0}\{x_n\},T^{n_0}\{y_n\}) &=\sum_{n=\infty}^\infty \frac{1}{2^{|n|}} |x_{n+n_0} - y_{n+n_0}|\\&\geq |x_{n_0}-y_{n_0}|\\&\geq 1.\end{align*}
Por lo que 1 es una amplia constante.
Comentario: Esto parece responder a la equivalencia 1 exactamente, donde se establece el $\epsilon = 1$.
Comentario Mientras [3] también parece contener toda la información para la equivalencia de 1, yo era incapaz de sacar una sola proposición/teoremas como el hiperbólico toral de automorfismos son considerados como ejemplos de allí.
Referencias
[1] G. Everest y T. Ward, Alturas de Polinomios y la Entropía en la Algebraicas Dinámica, Universitext, Springer, 1999
[2] P. Walters, Una Introducción a Ergodic Theory, Springer, Nueva York, 1982.
[3] A. Katok y B. Hasselblatt, Introducción a la Teoría Moderna de los Sistemas Dinámicos, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[4] M. Eisenberg, Expansivo automorfismos de finito-dimensional espacios, Fundamenta la Matemática. LIX (1966), 307-312
