Una función uniforme no puede ser transformada en otra función suave sin cambiar el valor de cada intervalo abierto.

Question

Tomar cualquier $C^\infty$ (liso) la función $f: R \to R$. Para cualquier función arbitraria $t:R\to R$, definir $g :R\to R$ $g(x)= (t\circ f)(x)$

Conjetura: Para cualquier $g$ si $g$ es suave ($g\in C^\infty$), el siguiente debe necesariamente contener:

$(i)$: : $s(x) = x$ (Función identidad), o

$(ii)$: No existe ninguna abierto ($O_R$) intervalo de $U$ en el dominio de $f, g$, para lo cual se tiene: $f(U)=g(U)$. es decir: $$\forall U\in O_R:\exists x\in U:f(x)\neq g(x)$$

En la llanura inglés: Una función uniforme no puede ser transformada en otra función suave, sin cambiar los valores en todas sus intervalos: Sólo en puntos aislados pueden permanecer sin cambios.

Aquí es incompleta argumento de por qué me parece que debe ser cierto:

Supongamos que tenemos un arbitrario función suave $f$, y una función arbitraria $s$, e $g=s\circ f$. Suponga que $s$ no es la función identidad (contradiciendo la condición de $i$), y que para algunos intervalo de $(a,b)$, $f(x)=g(x)$ para todos los $x\in (a,b)$, (contradiciendo la condición de $ii$). Tome $b$ aquí para ser el más grande de $b$, de tal manera que este posee (lo cual es posible por el Axioma de Completitud en $R$).

Ahora denotar por $f_n, g_n$ $n$th derivado de la $f, g$ respectivamente. Puesto que, por hipótesis, $f$ es suave en $b$, sabemos que

$$(1): \underset{\delta \to 0^-}{\text{Lim}}\left(\frac{f_{n-1}(b+\delta)-f_{n-1}(b)}{\delta}\right)=:L_{f_n}^-=L_{f_n}^+:=\underset{\delta \to 0^+}{\text{Lim}}\left(\frac{f_{n-1}(b+\delta)-f_{n-1}(b)}{\delta}\right)$$ ($L$ indican el límite con respecto al punto de $b$).

$(2):$ Desde $f$ $g$ son idénticas en $(a,b)$, también sabemos que $L_{f_n}^-=L_{g_n}^-$, para todos los $n\in \mathbb N$.

$(3):$ Supongamos ahora (con el fin de derivar una contradicción) que $g$ es suave en $b$, por lo que el $L_{g_n}^-=L_{g_n}^+$ todos los $n \in \mathbb N$. A continuación, el uso de $(1,2)$ también tiene que $L_{f_n}^+=L_{g_n}^+$ todos los $n \in \mathbb N$.

Sin embargo, desde la $b$ es el valor más grande tal que $f(x)=g(x)$$(a,b)$, lo que significa que cualquiera de las $f(b)\neq g(b)$ (en cuyo caso $g$ es discontinuo y no liso, completando la prueba para el caso), o algunas de las $c>b$, es el caso de que $f(x)\neq g(x)$ todos los $x\in (b,c)$.

Ahora aquí viene un poco de un salto: Dado que el $f(x)\neq g(x)$ todos los $x\in (b,c)$, también sabemos que hay un intervalo de $(b,\beta _1)$ donde $\beta_1\leq c$, en la cual para todos $x$: $f_1(x)\neq g_1(x)$. Del mismo modo, dado el intervalo de $(b, \beta_i)$ donde $x: f_i(x)\neq g_i(x)$, hay un intervalo de $(b, \beta_{i+1})$ donde $\beta_{i+1}\leq \beta_i$, en el cual para todas las $x: f_{i+1}(x)\neq g_{i+1}(x)$

De nuevo un salto: Por eso sabemos que para cualquier $n\in \mathbb N$, hay un $\beta \in \mathbb N$, de tal manera que para todos los $x\in (b, \beta), f_{n}(x)\neq g_{n}(x)$. Por lo tanto, no existe un $n\in \mathbb N$, de tal manera que $L_{g_n}^+ \neq L_{f_n}^+$. Esto contradice $(3)$, por lo tanto, $g$ no es suave.

Discusión:

• Es esta conjetura correcta?
• Es la primera parte de la prueba correcta?
• Es allí una manera de llenar los "saltos" en el final?
• Hay mejores maneras de demostrar (o si la conjetura es falsa, insistir en una correcta)?

ps. nota, no tengo formal de las matemáticas de formación, y se me ocurrió esta conjetura mismo basado en la intuición, así que si esto es un estúpido conjeturas o prueba, entiendo.

Answer 1

No es cierto. Voy a dejar que alguien mire los detalles de su argumento, pero no es un contra-ejemplo que es bastante natural - bump funciones!

Un golpe de la función es una función suave con soporte compacto, que es $1$ en algunas de conjunto compacto, va de $1$ $0$un conjunto acotado, y es $0$ fuera de ese conjunto. https://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function

Lo que esto significa es que podemos tomar cualquier función suave, y multiplicar por un golpe de la función. En el conjunto compacto, que será invariable, pero eventualmente, el resultado va a ser $0$. Así que hemos suave funciones que de acuerdo sobre algún intervalo, pero no en todas partes.

Edit: En esta pregunta aquí nos encontramos con un ejemplo con un rayo en lugar de tamaño compacto. Es un teorema de topología que nos puede cocinar estas funciones en una gran variedad de formas.

Answer 2

Contraejemplo: A Definir

$$f(x) = \begin{cases} 0 & x\le 0\\e^{-1/x} & x>0\end{cases}$$

A continuación, $f\in C^\infty(\mathbb R).$ $t(x) = x^2,$ tenemos $f$ $t\circ f$ igual a $0$ $(-\infty,0].$