Tomar cualquier $C^\infty$ (liso) la función $f: R \to R$. Para cualquier función arbitraria $t:R\to R$, definir $g :R\to R$ $g(x)= (t\circ f)(x)$
Conjetura: Para cualquier $g$ si $g$ es suave ($g\in C^\infty$), el siguiente debe necesariamente contener:
$(i)$: : $s(x) = x$ (Función identidad), o
$(ii)$: No existe ninguna abierto ($O_R$) intervalo de $U$ en el dominio de $f, g$, para lo cual se tiene: $f(U)=g(U)$. es decir: $$\forall U\in O_R:\exists x\in U:f(x)\neq g(x)$$
En la llanura inglés: Una función uniforme no puede ser transformada en otra función suave, sin cambiar los valores en todas sus intervalos: Sólo en puntos aislados pueden permanecer sin cambios.
Aquí es incompleta argumento de por qué me parece que debe ser cierto:
Supongamos que tenemos un arbitrario función suave $f$, y una función arbitraria $s$, e $g=s\circ f$. Suponga que $s$ no es la función identidad (contradiciendo la condición de $i$), y que para algunos intervalo de $(a,b)$, $f(x)=g(x)$ para todos los $x\in (a,b)$, (contradiciendo la condición de $ii$). Tome $b$ aquí para ser el más grande de $b$, de tal manera que este posee (lo cual es posible por el Axioma de Completitud en $R$).
Ahora denotar por $f_n, g_n$ $n$th derivado de la $f, g$ respectivamente. Puesto que, por hipótesis, $f$ es suave en $b$, sabemos que
$$(1): \underset{\delta \to 0^-}{\text{Lim}}\left(\frac{f_{n-1}(b+\delta)-f_{n-1}(b)}{\delta}\right)=:L_{f_n}^-=L_{f_n}^+:=\underset{\delta \to 0^+}{\text{Lim}}\left(\frac{f_{n-1}(b+\delta)-f_{n-1}(b)}{\delta}\right)$$ ($L$ indican el límite con respecto al punto de $b$).
$(2):$ Desde $f$ $g$ son idénticas en $(a,b)$, también sabemos que $L_{f_n}^-=L_{g_n}^-$, para todos los $n\in \mathbb N$.
$(3):$ Supongamos ahora (con el fin de derivar una contradicción) que $g$ es suave en $b$, por lo que el $L_{g_n}^-=L_{g_n}^+$ todos los $n \in \mathbb N$. A continuación, el uso de $(1,2)$ también tiene que $L_{f_n}^+=L_{g_n}^+$ todos los $n \in \mathbb N$.
Sin embargo, desde la $b$ es el valor más grande tal que $f(x)=g(x)$$(a,b)$, lo que significa que cualquiera de las $f(b)\neq g(b)$ (en cuyo caso $g$ es discontinuo y no liso, completando la prueba para el caso), o algunas de las $c>b$, es el caso de que $f(x)\neq g(x)$ todos los $x\in (b,c)$.
Ahora aquí viene un poco de un salto: Dado que el $f(x)\neq g(x)$ todos los $x\in (b,c)$, también sabemos que hay un intervalo de $(b,\beta _1)$ donde $\beta_1\leq c$, en la cual para todos $x$: $f_1(x)\neq g_1(x)$. Del mismo modo, dado el intervalo de $(b, \beta_i)$ donde $x: f_i(x)\neq g_i(x)$, hay un intervalo de $(b, \beta_{i+1})$ donde $\beta_{i+1}\leq \beta_i$, en el cual para todas las $x: f_{i+1}(x)\neq g_{i+1}(x)$
De nuevo un salto: Por eso sabemos que para cualquier $n\in \mathbb N$, hay un $\beta \in \mathbb N$, de tal manera que para todos los $x\in (b, \beta), f_{n}(x)\neq g_{n}(x)$. Por lo tanto, no existe un $n\in \mathbb N$, de tal manera que $L_{g_n}^+ \neq L_{f_n}^+$. Esto contradice $(3)$, por lo tanto, $g$ no es suave.
Discusión:
- Es esta conjetura correcta?
- Es la primera parte de la prueba correcta?
- Es allí una manera de llenar los "saltos" en el final?
- Hay mejores maneras de demostrar (o si la conjetura es falsa, insistir en una correcta)?
ps. nota, no tengo formal de las matemáticas de formación, y se me ocurrió esta conjetura mismo basado en la intuición, así que si esto es un estúpido conjeturas o prueba, entiendo.
