Solucionar $x^4 - 2x^3 + x = y^4 + 3y^2 + y \wedge (x,y) \in \mathbb{Z}^2$

Question

Quiero resolver la ecuación de $x^4 - 2x^3 + x = y^4 + 3y^2 + y$ en números enteros. La tarea de la LXVI polaco Olimpiada Matemática. La serie con esta tarea terminó hace veinte días, por lo que es legal hablar de ello.

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Por supuesto que es igual a $x(x-1)(x^2-x-1) = y(y^3 + 3y + 1) \wedge (x,y) \in \mathbb{Z}^{2}$.

Es obvio que $\left(\nexists x \in \mathbb{Z}\right)\left((x^2-x-1) = 0\right)$$\left(\nexists y \in \mathbb{Z}\right)\left( (y^3 + 3y + 1) = 0\right)$. $$x(x-1)(x^2-x-1) = 0 \Longrightarrow x \in \lbrace 0;~1 \rbrace \Longrightarrow y = 0$$

Por lo tanto, los pares de $(0,0), (1,0)$ satisfacer la ecuación.

Podemos ver $|y| \neq 1 \Rightarrow y \nmid (y^3+3y+1)$ o $\left(|x| \neq 1 \Rightarrow x \nmid (x-1) \wedge x \nmid (x^2 - x -1)\right)$, y muchos similares. Se debe notar también, que cualquier multiplicador tiene que dividir algunos multiplicador de la segunda cara. $$\frac{x(x-1)(x^2-x-1)} de{y} = y^3+3y+1 \in \mathbb{Z} \Longrightarrow y \mid x(x-1)(x^2-x-1)\\ $$

Y así sucesivamente. Con gran cantidad de transformaciones y de los casos especiales que podemos obtener, que no hay más soluciones (si no cometen el error). Pero se ve mal, es tan largo y es fácil confundirse. Tiene alguien idea simple? Creo firmemente aquí algunos existen.

Answer 1

Sugerencia: $x^4-2x^3+x=y^4+3y^2+y\let\leq\leqslant\let\geq\geqslant$ es equivalente a $(2x^2-2x-1)^2-(2y^2+3)^2=4y-8$.

Tenemos $2x^2-2x-1+2y^2+3\mid4y-8$, por lo tanto $|2x^2-2x-1+2y^2+3|\leq|4y-8|$. Como $x^2\geq x$ $x\in\mathbb Z$ esto da $y^2+1\leq|2y-4|$. Para $y\geq2$ esto es$(y-1)^2\leq-5$; $y\leq2$ esto es $(y+1)^2\leq3$. Queda por comprobar $y\in[-2,0]$.
$y=-2$: $x^2-x+y^2+1\mid 2y-4$ da $x^2-x=3$, imposible.
$y=-1$: $x^2-x+2\mid6$ significa $x^2-x=4$, imposible, o $x=0,1$. Ninguno de ellos trabaja.
$y=0$: $x^2-x+1\mid4$ da $x^2-x=0$, por lo tanto $x=0,1$. Ambas son soluciones.