Acotamiento de funciones en $W_0^{1,p}(\Omega)$

Question

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ ser un almacén de dominio normal y $p\in (1,\infty)$. Supongamos que $u\in W_0^{1,p}(\Omega)$ $u$ a nivel local es esencialmente limitado. ¿Esto implica que $u$ a nivel mundial es esencialmente limitado en $\Omega$.

Gracias.

Answer 1

Comentario: Esta es una respuesta incompleta, pero me pareció que valía la pena publicar lo que tengo hasta ahora. Si alguien tiene a la manera de terminar el argumento hágamelo saber, o publicar o su respuesta.

Si $p > n$, entonces se sigue de Morrey la desigualdad que existe en el $\tilde{u} = u$.e tal que $u \in C^{0, \gamma} (\overline{\Omega})$ y $$ \|\tilde{u}\|_{C^{0, \gamma}(\overline{\Omega})} \le C \|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}$$ y, por tanto, en este caso es cierto que $u$ a nivel mundial es esencialmente limitado.

Si $p < n$, entonces el resultado de falla cuando se $u$ no tiene cero de seguimiento. Pick $\Omega = \mathbb{R}^n_{+} \cap B(0,1)$, al abrir la mitad de la bola. Ahora, elija exponente $\alpha$ tal que $p < \alpha < n$. Ahora elija $$ u(x) = \frac{1}{|x|^{(n - \alpha)/p}}$$ por ejemplo, $u(r) = r^{(\alpha - n)/p}$ donde $r = |x|$. A continuación,$|u|^p = r^{\alpha - n}$, que es integrable en a $\Omega$. Además, el derivado $Du$ escalas como $r^{-1 + (\alpha - n)/p}$, por lo que, a continuación, $|Du|^p$ escalas como $r^{-p + \alpha - n}$, que también es integrable en a $\Omega$. Por lo tanto $u \in W^{1,p}(\Omega)$. $u$ sólo explota en el origen, por lo que en cada conjunto compacto en el interior de $\Omega$, $u$ es acotado, sino $u \notin L^{\infty}(\Omega)$.

Ahora mismo no tengo la dirección de su pregunta en el caso de $p < n$ $u$ con cero de seguimiento, pero en primer lugar tenga en cuenta que podemos tomar la $u(x)$ de mi ejemplo anterior y fácilmente hacer desaparecer de la porción semicircular de $\partial \Omega$. Ahora, multiplica el resultado de la función en $x_n/ |x|$ donde $x_n$ es la coordenada que es cero en el límite de $\mathbb{R}^n_{+}$. A continuación,$u \in W^{1,p}(\Omega)$, e $u = 0$.e. en $\partial \Omega$, así que creo que esto implica que $u \in W^{1,p}_0(\Omega)$, en cuyo caso $u$ demostraría que el resultado de la falla. Sin embargo, actualmente no se puede argumentar con rigor que $u$ puede ser escrito como un límite de $C_c^{\infty}(\Omega)$ $W^{1,p}$ topología.

Answer 2

Creo que su conclusión está mal para $p \le N$. Por supuesto, el caso de $p > N$ es trivial, ya que $W^{1,p}$ incrusta en $L^\infty$.

Un contraejemplo en $W_0^{1,p}(\Omega)$, $p \le N$, podría ser construido de la siguiente manera. Un único punto de $x \in \Omega$ tiene la capacidad de $0$, es decir, fija $r > 0$, de tal manera que $B_r(x) \subset \Omega$, y fija $\delta > 0$, $N > 0$, hay un no-negativo de la función de $f \in W_0^{1,p}(\Omega)$ arbitrariamente pequeño norma, de tal manera que $f$ es compatible en $B_r(x)$ y no existe $\varepsilon > 0$, $f \ge N$ $B_\varepsilon(x)$.

Ahora, tomar una secuencia de puntos de $\{x_i\}$ que converge hacia el límite de $\Omega$ (es decir, en un conjunto compacto $K \subset \Omega$ sólo hay un número finito de puntos). Ahora, veamos las funciones de $f_i \ge 0$ norma $2^{-i}$ con distinto soporte, que se $\ge i$ $x_i$ (en el anterior sentido). La serie $\sum_{i=1}^\infty f_i$ es de Cauchy en $W_0^{1,p}(\Omega)$, por lo tanto el límite de $f$ existe. Ahora, es fácil ver que $f \in L^\infty_\mathrm{loc}(\Omega) \setminus L^\infty(\Omega)$.