Se puede definir $\langle x,y\rangle$$P(C)$?

Question

Yo estudio en curso de Fundamentos de la Matemática las siguientes definiciones y lema:
$\langle x,y\rangle:=\{\{x\},\{x,y\}\}$ (a partir de Kuratowski 1921)
$\langle x,y\rangle:=\{\{\{x\},\varnothing\}\{\{y\}\}\}$ (a partir de Norbert Wiener 1914)

Lema : Si $x\in C$$y\in C$$\langle x,y\rangle\in P(P(C))$. (Lema es cierto con Kuratowski definiciones y $P(A)$ significa poder establecer de $A$)

1. Ahora hay ninguna prueba de que explicar que no existe ninguna definición compatible con los axiomas de la teoría de conjuntos y $\langle x,y\rangle\in P(C)$ en lugar de $P(P(C))$?
   

Parece que la respuesta es "No" para mí, pero no puedo presentar ninguna prueba.
Si conoces alguna referencia que puede ayudar a los de la pregunta anterior, por favor señale.

Un nuevo enfoque:

Podemos reemplazar la pregunta con menos de uno:

Demostrar que no existen fórmulas $\varphi$ de dos variables libres, de tal manera que para todos los conjuntos $C$, $\varphi$ describe un inyectiva mapa de $C\times C$ a $P(C)$.

Un otro punto de vista el problema:

1. ¿Cómo puedo comprobar la compatibilidad de 1. con los axiomas de la teoría de conjuntos?
2. ¿Qué información necesito?

Answer 1

El hecho de que usted no puede hacerlo por muy pequeños conjuntos invariablemente significa que usted no puede hacerlo todo.

Primero que todo, es importante tener en cuenta que la forma de codificar las parejas no deben depender de que el conjunto que estamos considerando en este momento. Por lo $\langle 0,0\rangle$ debe ser codificado para el mismo conjunto sin importar el uso de considerarlo como un par ordenado en $\omega\times\omega$ o en $V_\omega\times V_\omega$.

Esto significa que dado un elemento $a$, $\langle a,a\rangle$ debe estar en cada $A\times A$ siempre $a\in A$. Si queremos $A\times A\subseteq\mathcal P(A)$, esto significa que $\langle a,a\rangle\in\bigcap\{\mathcal P(A)\mid a\in A\}=\{\varnothing,\{a\}\}$. Claramente $\varnothing$ no puede codificar todos los pares ordenados, por lo $\langle a,a\rangle=\{a\}$.

Esto significa que $\langle a,b\rangle\in\mathcal P(\{a,b\})$ y que si $a\neq b$$\langle a,b\rangle\neq\{a\},\{b\}$. Por lo tanto,$\langle a,b\rangle=\{a,b\}$. Pero por lo $\langle a,b\rangle=\langle b,a\rangle$ incluso si $a\neq b$. Y esto es una contradicción a los axiomas del par ordenado.

Por lo tanto, no existe una definición de par ordenado tal que para cada conjunto de $A$ tenemos $A\times A\subseteq\mathcal P(A)$.