Probabilidad de que un azar de la matriz binaria es invertible?

Question

¿Cuál es la probabilidad de que un azar $\{0,1\}$, $n \times n$ la matriz es invertible? Asumir el 0 y 1 están presentes en cada uno una entrada con una probabilidad de $\frac{1}{2}$. Hay una fórmula explícita como una función de la $n$? ¿Se tienden a 1 $n$ crece grande? Estoy seguro de que esto es de todos conocido...

Gracias!

Answer 1

Aquí está la respuesta $\mathbb F_2$; no sé acerca de los anillos:

El primer vector fila tiene un $1$ $2^n$ de probabilidad de ser linealmente dependientes, el segundo $2$ $2^n$ y así sucesivamente, de modo que la probabilidad de que un $n\times n$ de la matriz a es invertible

$$p(n)=\prod_{k=1}^{n}(1-2^{-k})\;,$$

y el límite es

$$\lim_{n\to\infty}p(n)=\prod_{k=1}^{\infty}(1-2^{-k})\approx0.288788$$

como se calcula W|Un.