Muestran que la constante de la curvatura de la $\kappa = 1/r$ es necesario y suficiente que la curva es un arco circular de radio $r$

Question

Hemos de probar que una curva tiene curvatura constante $\kappa = 1/r$ si y sólo si está en un arco circular de radio $r$.

Estoy confundido porque no una hélice también tienen una curvatura constante dado por $\frac{a}{a^2 + b^2}$ donde $a$ es el radio del círculo y $b$ es la tasa de ascensión? Me siento como un adicional suposición aquí es necesario (por ejemplo, que la curva es plana, por lo tanto torsión $\tau = 0$).

De hecho, el uso de la suposición de $\tau = 0$ y Frenet-Serret he encontrado una ecuación diferencial que involucra el vector Normal $N$ con un trigonométricas solución. Yo no estaba seguro de qué hacer a partir de aquí, sin embargo.

Edit: La cuestión definitivamente pide curvas (no especifica el plano de la curva) así que voy a pedir a la TA mañana. A partir de ahora, supongamos que se quiere sólo planas curvas, por lo $\tau = 0$. Puede alguien me ayuda con esa solución?

Answer 1

Para un plano de la curva $$\gamma:\quad s\mapsto{\bf z}(s)=\bigl(x(s),y(s)\bigr)$$ parametrización por longitud de arco que uno tiene $$\dot{\bf z}(s)=\bigl(\cos\theta(s),\sin\theta(s)\bigr)\ ,\tag{1}$$ donde $\theta(s)$ denota el argumento de $\dot{\bf z}(s)$. La curvatura $\kappa(s)$ es el dado por $$\kappa(s):=\dot\theta(s)\ .\tag{2}$$ Que un arco circular de radio $r>0$ $$\kappa(s):=\dot\theta(s)\equiv{1\over r} de la siguiente manera desde geométricas elementales consideraciones.

Por el contrario: se Asume que un $r>0$ es dado, y que $$\kappa(s)\equiv{1\over r}\qquad(-a<s<a)\ .\tag{3}$$ Dado que estos datos no determinar la ubicación exacta de $\gamma\subset{\mathbb R}^2$ podemos asumir que $${\bf z}(0)=(r,0),\quad\theta(0)={\pi\over2}\ .\tag{4}$$ El uso de $(2)$ $(3)$ obtenemos entonces $$\theta(s)={s\over r}+{\pi\over2}\ .$$ Conectando a $(1)$ tenemos $$\dot x(s)=\cos\theta(s)=-\sin{s\sobre r},\qquad \dot y(s)=\sin\theta(s)=\cos{s\sobre r}\ .$$ En cuenta de las condiciones iniciales $(4)$ esto lleva a $$x(s)=r\cos{s\over r},\quad y(r)=r\sin{s\over r}\qquad(-a<s<a)\ ,$$ que es, obviamente, un arco de radio de $r$ centrada en $(0,0)$.

Answer 2

Deje que esta curva se da en una parametrizadas forma como $\vec{r}(t)=(x(t),y(t))=x(t)i+y(t)j$. Por definición, la curvatura de esta curva está dada por $$\kappa=\frac{||\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)||}{||\vec{r}'(t)||^3}$$ Conectar $\vec{r}'(t)=x'(t)i+y'(t)j$ $\vec{r}''(t)=x''(t)i+y''(t)j$ rendimientos $$\kappa=\frac{||\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)||}{||\vec{r}'(t)||^3}=\frac{||(x'(t)i+y'(t)j)\times(x''(t)i+y''(t)j)||}{||x'(t)i+y'(t)j||^3}=\frac{||x'(t)y''(t)k-x''(t)y'(t)k||}{||x'(t)i+y'(t)j||^3}$$ La última igualdad es equivalente a $$\kappa=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{((x'(t))^2+(y'(t))^2)^{3/2}}\Leftrightarrow \kappa^2=\frac{(x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t))^2}{((x'(t))^2+(y'(t))^2)^{3}}$$ Ahora vamos a la parametrización de la curva es un círculo de radio de $r$ $$x^2(t)+y^2(t)=r^2\Rightarrow x'(t)x(t)+y'(t)y(t)=0\Rightarrow (x'(t))^2+(y'(t))^2=-(x''(t)x(t)+y''(t)y(t))$$ Por lo tanto $$\kappa^2=\frac{(x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t))^2}{-(x''(t)x(t)+y''(t)y(t))^3}$$ teniendo en cuenta que $$x'(t)x(t)+y'(t)y(t)=0\Rightarrow \frac{x'(t)}{y'(t)}=-\frac{y(t)}{x(t)}$$ lo $$\kappa^2=\frac{(x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t))^2}{-(x''(t)x(t)+y''(t)y(t))^3}=-(\frac{y'(t)}{x(t)})^2\cdot\frac{(x''(t)x(t)+y''(t)y(t))^2}{(x''(t)x(t)+y''(t)y(t))^3}$$ $$\Rightarrow\kappa^2=-(\frac{y'(t)}{x(t)})^2\cdot\frac{1}{x''(t)x(t)+y''(t)y(t)}$$ $$\Rightarrow \kappa^2=(\frac{y'(t)}{x(t)})^2\cdot\frac{1}{(x'(t))^2+(y'(t))^2}=\frac{1}{x^2(t)}\cdot\frac{1}{(\frac{x'(t)}{y'(t)})^2+1}$$ $$\Rightarrow \kappa^2=\frac{1}{x^2(t)}\cdot\frac{1}{(\frac{x(t)}{y(t)})^2+1}=\frac{1}{x^2(t)}\cdot\frac{x^2(t)}{x^2(t)+y^2(t)}=\frac{1}{x^2(t)+y^2(t)}=\frac{1}{r^2}$$ $$\Rightarrow \kappa=\frac{1}{|r|}=constant$$ En el otro sentido de la declaración de uno puede asumir que los $\kappa$ es constante, entonces la siguiente manera
$$\kappa^2=\frac{(x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t))^2}{((x'(t))^2+(y'(t))^2)^{3}}$$ es una constante. Denotar por $z(t)=\frac{y'(t)}{x'(t)}$ $$\kappa^2=\frac{1}{(x'(t))^2}\cdot\frac{(z'(t))^2}{(z^2(t)+1)^3}$$ Ahora tenemos dos posibilidades $$\kappa=\frac{1}{x'(t)}\cdot\frac{z'(t)}{(z^2(t)+1)^{3/2}}$$ o $$\kappa=-\frac{1}{x'(t)}\cdot\frac{z'(t)}{(z^2(t)+1)^{3/2}}$$ Permite lidiar con el primer caso (el otro sigue la misma técnica) $$\kappa=\frac{1}{x'(t)}\cdot\frac{z'(t)}{(z^2(t)+1)^{3/2}}\Rightarrow \kappa\int x'(t)\,dt=\int \frac{z'(t)}{(z^2(t)+1)^{3/2}}\,dt$$ $$\Rightarrow \kappa x(t)=\frac{z(t)}{\sqrt{z^2(t)+1}}+c$$ $$(\kappa x(t)-c)^2=\frac{z^2(t)}{z^2(t)+1}\Rightarrow z^2(t)=\frac{(\kappa x(t)-c)^2}{1-(\kappa x(t)-c)^2}\Rightarrow z(t)=\frac{|\kappa x(t)-c|}{\sqrt{1-(\kappa x(t)-c)^2}}$$ Por lo tanto $$y'(t)=\frac{|\kappa x(t)-c|}{\sqrt{1-(\kappa x(t)-c)^2}}\cdot x'(t)\Rightarrow \int y'(t)\,dt=\int \frac{|\kappa x(t)-c|}{\sqrt{1-(\kappa x(t)-c)^2}}\cdot x'(t)\,dt$$ ahora imagine $\kappa x(t)-c\geq 0$ $$y(t)=\frac{1}{\kappa}\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\cdot \,du$$ donde $u=\kappa x(t)-c$. Después de la integración $$y(t)=-\frac{1}{\kappa}\sqrt{1-u^2}+c_1\Rightarrow (y(t)-c_1)^2+\frac{u^2}{\kappa^2}=\frac{1}{\kappa^2}$$ Sustituya $u=\kappa x(t)-c$ para obtener $$(y(t)-c_1)^2+(x(t)-\frac{c}{\kappa})^2=\frac{1}{\kappa^2}$$ Esta es la ecuación de un círculo.