Busco cuantificar la (a falta de un término mejor) "ondulación" de una curva paramétrica. El conjunto particular de curvas que estoy mirando provienen de la interpolación cúbico-spline en un conjunto de puntos que se encuentran, más o menos, en una sección de un círculo (ver imagen en la parte inferior).
Tras la interpolación, tengo las coordenadas parametrizadas $x(t)$ y $y(t)$ La cantidad que busco definir es la cantidad que la c es capaz de producir. La cantidad que busco definir, entonces, es la cantidad que la curva oscila hacia adelante y hacia atrás.
He considerado simplemente calcular el círculo de mejor ajuste y dejar que mi cantidad sea el error cuadrático medio, pero el problema es que, aunque la curva parece ciertamente circular, preferiría evitar el uso de la suposición.
Mi enfoque actual consiste en calcular la curvatura media cuadrática sobre un gran número de puntos de la curva, utilizando la fórmula de la curvatura de una curva paramétrica $$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$$
Este enfoque parece funcionar bastante bien, pero tiene el problema de que parece estar bastante influenciado por la forma global de la curva más que por las pequeñas perturbaciones locales; el valor medio tiende a estar alrededor de $\frac{1}{r}$ donde r es el radio del círculo de mejor ajuste.
Así que, finalmente, mi pregunta es: ¿hay alguna cantidad que describa mejor la "ondulación" local de este tipo de curva, en lugar de la forma global?
EDITAR:
Aunque el enlace proporcionado en los comentarios parece una gran técnica (en particular, parece ser mejor que mi método actual), todavía no se libra del problema de la influencia de la geometría global. Es decir, habrá cierta "energía" por defecto aportada debido a la forma general del arco, mientras que a mí sólo me interesa la "energía" debida a los meneos. Tal vez, siguiendo con la analogía de la energía, pueda simplemente restar esta energía por defecto para obtener la cantidad que me interesa.
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Relacionado , puede ser considerado como un duplicado. Aunque la respuesta allí podría encajar mejor aquí.
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En realidad, la curvatura media cuadrática es $\sqrt{2W}$ si la media se calcula como una integral (que puede simplificarse a algo parecido a una suma de puntos, como se muestra allí). Así que esos dos enfoques son esencialmente los mismos. (Actualización: No exactamente, la suya es la versión parametrizada no lineal más general). En cuanto a la contribución de la forma general, puedes estimar su influencia. Sabes que las ondulaciones de mayor longitud de onda caen en amplitud inversamente al cuadrado cuando tomas la segunda derivada, así que hay un efecto de filtro de paso bajo asociado al método.
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He retirado mi bandera de duplicado, ya que se trata de un problema paramétrico 2D y trata de lidiar con la curvatura no linealizada. Una solución adecuada puede ser análoga, pero no idéntica, y probablemente más general.
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Esto también podría interesarle . Necesitaría una adaptación a su problema, pero tiene una idea de lo que innecesario son los meneos: Aquellos cuyos giros son esencialmente deshechos por otros meneos. Para filtrarlos, hay que penalizar el variación total . Precaución: Ecuaciones no lineales, la implementación debe ser iterativa y necesita consideraciones de detalle, pero es bastante exitoso en el negocio de "eliminación de ruido". Se ha adaptado para limpiar imágenes de satélite en 2D.
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Sin embargo, la penalización de la variación total favorece los resultados con segmentos de línea recta a trozos, por lo que las derivadas tienen singularidades en las uniones. Si necesitas derivadas, mejor quédate con una analogía de splines elásticos bien adaptada, diría yo.
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Gracias por todos sus comentarios. Han sido de gran ayuda. Y sí, estoy de acuerdo; la penalización por TV parece muy interesante, pero necesito derivadas, así que veré cómo puedo adaptar la técnica del spline elástico