Frecuencia natural de un sistema de dos masas y un muelle

Question

Supongamos que tengo dos masas $m_1, \ m_2$ conectados por un muelle de rigidez $k$ a través de sus centros de masa, tendidos sobre una superficie sin fricción y el sistema se pone en oscilación. Quiero encontrar las frecuencias naturales de oscilación. Encontrando los valores propios, obtengo una frecuencia natural es $$\omega_n = \sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$$ Pero yo creía que un sistema con dos grados de libertad debía tener dos frecuencias naturales Al calcular los valores propios, la ecuación se reducía a $$m_1m_2\omega^4 = \omega^2 k(m_1+m_2)$$ ¿Significa esto que la otra frecuencia natural es cero?

(Pido disculpas porque sé que hay bastantes preguntas en PSE sobre este sistema, pero no he encontrado ninguna que respondiera a mi pregunta y aún no tengo suficientes puntos para comentar).

Answer 1

Supongamos que tengo dos masas m1, m2 conne k

El Lagrangiano del sistema es

$$L = \frac{1}{2}m_1\dot q_1^2 + \frac{1}{2}m_2\dot q_2^2 - \frac{1}{2}k(q_1 - q_2)^2$$

donde $q_1$ y $q_2$ son las coordenadas de $m_1$ y $m_2$ respectivamente.

Consideremos ahora un cambio de coordenadas a las coordenadas normales $Q_1$ y $Q_2$ donde

$$Q_1 = \frac{q_1m_1 + q_2m_2}{m_1 + m_2},\qquad Q_2 = q_2 - q_1$$

son las coordenadas del centro de masa $M = m_1 + m_2$ y la masa reducida $\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$ respectivamente.

En estas coordenadas, el Lagrangiano es

$$L = \frac{1}{2}M\dot Q_1^2 + \frac{1}{2}\mu\dot Q_2^2 - \frac{1}{2}kQ_2^2$$

y ahora es fácil ver que las ecuaciones de movimiento desacopladas (mediante la ecuación de Euler-Lagrange) son

$$\ddot Q_1 = 0, \qquad \ddot Q_2 = -\frac{k}{\mu}Q_2$$

Y así, la coordenada del centro de masa tiene "oscilación de frecuencia cero", es decir, movimiento de traslación uniforme, mientras que la coordenada de masa reducida oscila con frecuencia angular $\omega_2 = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$

Answer 2

Puedes tomar las dos ecuaciones de movimiento

$$\begin{align} k (x_2 - x_1) = m_1 \ddot{x}_1 \\ k (x_1-x_2) = m_2 \ddot{x}_2 \end{align} $$

y transformarlos utilizando su ubicación en el centroide, y la distancia

$$ \left. \begin{align} x_c & = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\\ x_d & = x_2-x_1 \end{align} \right\} \begin{aligned} x_1 &= x_c - \frac{m_2 x_d}{m_1 +m_2} \\ x_2 & = x_c + \frac{m_1 x_d}{m_1+m_2} \end{aligned} $$

(y análogamente para las aceleraciones). Las ecuaciones de movimiento se transforman en

$$\begin{align} \ddot{x}_c &= 0 \\ \ddot{x}_d &= -k \left( \frac{m_1+m_2}{m_1 m_2} \right) x_d \end{align} $$

Como se puede ver el centro de masa $x_c$ no tiene ninguna aceleración (primera ley de Newton), y sólo la separación oscila con la masa reducida $m_{eff} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} $

Los valores propios del sistema se encuentran trivialmente como

$$ \begin{align} \omega_c^2 &= 0 \\ \omega_d^2 & = k \frac{m_1+m_2}{m_1 m_2} \end{align} $$

Answer 3

La otra frecuencia natural es cero. Las frecuencias naturales de cero corresponden a los modos vibratorios del movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de un cuerpo rígido no es un movimiento vibratorio en sí mismo, pero aún así surge en el análisis modal de ciertos sistemas como el anterior. La razón por la que se obtiene un modo de cuerpo rígido es porque se puede mover el sistema en su conjunto y no existe ninguna fuerza de restauración que devuelva todo el sistema a su posición original.

Este sistema equivale a enganchar una de las masas a un punto fijo mediante un muelle de rigidez nula. Consideremos el sistema con masa $m_1$ conectado a un punto fijo con un muelle de rigidez $K$ . Al realizar el análisis modal, las dos frecuencias naturales de dicho sistema vienen dadas por:

$$\omega=\sqrt{\frac{m_1 + m_2}{2m_1 m_2}k + \frac{K}{2m_1}\pm \sqrt{\left[\frac{m_1 + m_2}{2m_1 m_2}k + \frac{K}{2m_1}\right]^2 - \frac{Kk}{m_1 m_2}}}$$

Ahora, para volver a obtener su sistema, establezca $K=0$ y las dos frecuencias se convierten en $0$ y $\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1 m_2}k}$ . Así pues, la frecuencia natural más baja del sistema es cero, pero ¿cuál es el significado físico de una frecuencia natural cero? Una forma de interpretarlo es una vibración de periodo de tiempo infinito, $T=2\pi/\omega$ . Cuando los cuerpos se mueven, tardan tanto en terminar su primera oscilación que ésta nunca se completa, es decir, el cuerpo sigue moviéndose a velocidad constante. Esto corresponde al movimiento de un cuerpo rígido sin fuerzas externas (el análisis modal para determinar las frecuencias naturales fija en cero las fuerzas aplicadas externamente).

Espero que esto responda a su pregunta :)

P.D. Tenga en cuenta también que el resultado de frecuencia cero aparece junto al resultado distinto de cero cuando los calcula por primera vez:

Tomando el determinante de la matriz correspondiente, se obtiene la siguiente ecuación:

$$\omega^4 - \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}k\omega^2=0$$

Obsérvese que esto puede reescribirse como:

$$\omega^2 \left(\omega^2 - \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}k\right) = 0$$

Por lo tanto, puede verse que $\omega^2 = 0$ si una de las dos soluciones. Es bastante fácil pasar por alto esto, ya que puede ser prematuramente cancelado de la ecuación, que sólo se puede hacer si $\omega^2 = 0$ es una solución imposible, que no lo es.

Answer 4

Sólo hay un grado de libertad (la distancia entre las masas) no dos, y por lo tanto sólo una frecuencia natural (dada por su 1ª eqn). Como no hay fuerzas externas, el CM del sistema no se mueve. (Lo siento, pero no veo por qué tanto alboroto. ¿Por qué complicar tanto un problema tan sencillo?)