Si $b_n$ es un almacén de secuencia y $\lim a_n = 0$, muestran que $\lim(a_nb_n) = 0$

Question

Este es un real análisis de la tarea cuestión, de manera que yo, por supuesto, tiene que ser muy preciso y justificar cualquier cosa o cualquier teorema que yo uso.

Si $b_n$ es un almacén de secuencia y $\lim(a_n) = 0$, muestran que $\lim(a_nb_n) = 0$

Intuitivamente, ya que $b_n$ es acotado, entonces sup($b_n$) es algún número finito y por lo tanto, podemos tomar un $N$ número natural tan grande como necesitamos tal que para todo $n\gt N$ $b_na_n$ enfoques $0$.

Al principio pensé en utilizar el límite de teoremas, pero desde $a_n$ no está delimitado, el límite general teoremas de no respuesta. (Me refiero a $\lim(X + Y) = \lim X + \lim Y$ $X,Y$ secuencias, etc).

Yo estaba pensando, a continuación, utilizar la definición del límite de alguna manera para mostrar que desde $b_n$ está delimitado, se puede tomar como intuitivamente se indicó anteriormente $N$ lo suficientemente grande como para mostrar que la afirmación es verdadera. No estoy seguro de cómo proceder con este.

Gracias por sus respuestas de antemano!

Answer 1

Quiere mostrar que el valor absoluto de (b_n)(a_n) puede hacerse arbitrariamente pequeña. Pero, para todo n, el valor absoluto de b_n no exceda un constante positiva M desde la secuencia b es acotado. Por lo tanto |b_na_n| no exceda de M|a_n|. Desde la secuencia de un converge a 0, esto es todo lo que usted necesita. El argumento es básicamente el Teorema del encaje de la escuela primaria de cálculo.

Answer 2

Creo que esta vieja pregunta merece una respuesta directamente de la definición de un límite.

La secuencia de $(b_n)$ es acotado, tomar un $M$ tal que $\left|b_n\right|<M$ todos los $n$.

Ahora vamos a $\varepsilon>0$. Desde $(a_n)$ converge a $0$ hay un $N$ tal que $|a_n|<\frac\varepsilon M$ todos los $n\ge N$. A continuación, $|a_n b_n|<\frac\varepsilon M\cdot M=\varepsilon$ todos los $n\ge N$. Esto demuestra que $(a_nb_n)$ converge a $0$.

Answer 3

Puesto que el $b_n$ son limitados, hay una constante $C$ tal que $-C\lt b_n\lt C$ todos los $n$. Fix $n$. En primer lugar, imaginemos $a_n\gt 0$. A continuación,$-C a_n< a_nb_n < Ca_n$. Del mismo modo, si $a_n\lt 0$$Ca_n < a_n b_n < -C a_n$. En resumen: $|a_n b_n|\lt C|a_n|$.

Ahora, para cualquier secuencia $c_n$, $c_n\to 0$ iff $|c_n|\to 0$. A la derecha?

Pero $C|a_n|\to 0$ desde $a_n\to 0$. Desde $|a_nb_n|\le C|a_n|$, también debemos tener $|a_n b_n|\to 0$.

(Esto es sólo un boceto. Déjeme saber si usted me necesita aclarar algo.)

Answer 4

Escribir *... pero como $a_n$ no está limitada...*

Es de suponer que usted quiere decir que no ha sido explícitamente dijo que la secuencia de $a_n$ está acotada. Eso es verdad; no la tienes.

Sin embargo, como sucede, el siguiente se tiene:

Teorema. Deje $c_n$ ser cualquier secuencia de números reales. Si $c_n$ converge, entonces es acotada.

Intuitivamente, ¿por qué? Bueno, lo suficientemente grande como $n$, los valores de $c_n$ debe estar cerca del límite de $L$; por lo que sólo los "principios" de los valores de $c_n$ puede conseguir lejos del límite, y ya que hay sólo un número finito de ellos, que sólo puede ir tan lejos.

Por lo tanto, tratar de demostrar esto con cuidado, de modo que se puede concluir que el $a_n$ es limitada, de modo que los teoremas desea aplicar puede ser aplicado.