Deje $(\mathbb{R}^{+},\frac{dt}{t})$ ser el grupo multiplicativo de los números reales positivos con la topología usual y medida de Haar $\frac{dt}{t}$. Definir las funciones de $g:\mathbb{R}^{+}\to [0,\infty)$, $h:\mathbb{R}^{+}\to [0,\infty)$ por $g(x)=\left|f(x)\right|x^{1-\frac{b}{p}}$$h(x)=x^{-\frac{b}{p}}\chi_{[1,\infty)}(x)$. Vamos a aplicar la desigualdad de Minkowski para la convolución $F=g\star h$. Tenga en cuenta que:
\begin{align*}
F(x)= &\int_{0}^{\infty} \left|f(t)\right|t^{1-\frac{b}{p}}\;\;\frac{t^{\frac{b}{p}}}{x^{\frac{b}{p}}}\;\;\chi_{[1,\infty)}\left(\frac{x}{t}\right)\frac{dt}{t} \
=& \frac{1}{x^{\frac{b}{p}}}\int_{0}^{x} \left|f(t)\right| dt \
\end{align*}
si $x\in\mathbb{R}^{+}$. Además,
$$
\left\|h\right\|_{L^1(\mathbb{R}^{+},\frac{dt}{t})}= \int_{1}^{\infty} t^{-\frac{b}{p}-1}dt=\frac{p}{b}
$$
y
$$\left\|g\right\|_{L^p(\mathbb{R}^{+},\frac{dt}{t})}=\left(\int_{0}^{\infty} \left|f(t)\right|^p t^{p-b-1} dt \right)^{\frac{1}{p}}
$$
La desigualdad de Minkowski por lo tanto implica que
\begin{align*}
\left(\int_{0}^{\infty} \left(\int_{0}^{x} \left|f(t)\right| dt\right)^p x^{-b-1} dx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \frac{p}{b}\left(\int_{0}^{\infty} \left|f(t)\right|^p t^{p-b-1} dt\right)^{\frac{1}{p}}
\end{align*}
Vamos ahora a redefinir las funciones de $g:\mathbb{R}^{+}\to [0,\infty), h:\mathbb{R}^{+}\to [0,\infty)$$g(x)=\left|f(x)\right|x^{1+\frac{b}{p}}$$h(x)=x^{\frac{b}{p}}\chi_{(0,1]}(x)$. Vamos a aplicar la desigualdad de Minkowski para la convolución $F=g\star h$. Tenga en cuenta que,
$$
F(x)= \int_{0}^{\infty} \left|f(t)\right|t^{1+\frac{b}{p}}\;\;\frac{x^{\frac{b}{p}}}{t^{\frac{b}{p}}}\chi_{(0,1]}\left(\frac{x}{t}\right)\frac{dt}{t}
= x^{\frac{b}{p}}\int_{x}^{\infty} \left|f(t)\right| dt
$$
si $x\in\mathbb{R}^{+}$. Además,
$$
\left\|h\right\|_{L^1(\mathbb{R}^{+},\frac{dt}{t})}=\int_{0}^{1} t^{\frac{b}{p}-1} dt
= \frac{p}{b}
$$
y
$$\left\|g\right\|_{L^p(\mathbb{R}^{+},\frac{dt}{t})}=\left(\int_{0}^{\infty} \left|f(t)\right|^p t^{p+b-1} dt \right)^{\frac{1}{p}}
$$
La desigualdad de Minkowski por lo tanto implica que,
\begin{align*}
\left(\int_{0}^{\infty} \left(\int_{x}^{\infty} \left|f(t)\right| dt\right)^p x^{b-1} dx\right)^{\frac{1}{p}}\leq \frac{p}{b} \left(\int_{0}^{\infty} \left|f(t)\right|^p t^{p+b-1} dt\right)^{\frac{1}{p}}
\end{align*}
