Número de maneras de colocar a $n$ distinguibles bolas en $k$ indistiguishable recipientes donde el tamaño máximo de un bin es $m$

Question

Sé que el número de maneras de colocar a $n$ distinguibles bolas en $k$ indistinguible contenedores está dada por el número de Stirling del segundo tipo. Pero no sé cómo modificarla para incluir la posibilidad de que un cubo tiene un tamaño máximo de $m$ es decir un cubo no puede tener más de $m$-bolas. Al mismo tiempo, una bandeja debe tener al menos $1$ pelota. Gracias

Answer 1

Sugerencia 1

Primero debe tratar de responder a la siguiente pregunta : ¿cuántas maneras existen para seleccionar $lm$ bolas entre el $n$ bolas y dividir estas bolas en grupos de a $m$ bolas para $l$ diferentes compartimientos ?

Sugerencia 2

Para el mundial de la fórmula, usted debe tratar de construir una recurrencia de la fórmula usando el siguiente principio :

• si $M$ es la máxima capacidad de las tolvas, dividido en varios casos, dependiendo de cuántos recipientes a plena capacidad. El resto de los recipientes debe por lo tanto ser llenadas en la mayoría de las $M-1$ bolas.
• si $m$ es la capacidad mínima de los depósitos, ¿cuáles son las situaciones en $n$, $k$, $m$ y $M$ en los que la colocación es imposible ?