$\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2+\alpha^2}$ el uso de residuos de

Question

Estoy tratando de encontrar $\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2+\alpha^2}dx$ donde $\alpha>0$ es real. Mi enfoque fue a tomar una integral a lo largo de la línea real de$1/R$$R$, alrededor del círculo en el sentido contrario para $-R$, a lo largo de la línea real a $-1/R$, y, a continuación, alrededor del círculo en sentido horario para $1/R$. Me he encontrado con 2 problemas con este:

1. Este camino encierra uno de los polos, en $z=\alpha i$. He encontrado el residuo en $z=\alpha i$$\frac{\ln(\alpha)+i\pi/2}{2\alpha i}$. Sin embargo, esto me da que $\int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2+\alpha^2}dx=\frac{\pi(\ln(\alpha)+i\pi/2)}{2\alpha}$. Ya que tengo una función real integrado a través de la línea real, no puede ser una parte imaginaria. ¿De dónde me salen mal? (También, de hacer un par de ejemplos, la respuesta correcta parece ser $\frac{\pi\ln(\alpha)}{2\alpha}$, el mismo que tengo pero sin la parte imaginaria.)

2. En primer lugar elegí mi camino, por lo que en lugar de ir todo el camino alrededor de la parte superior del semicírculo, sólo fuimos a 3/4 de la vuelta, quería evitar cualquier cosa que pueda ir mal con la discontinuidad de la $\log(x)$ en el eje real negativo. Cuando hago esto, sin embargo, voy a obtener una respuesta diferente que antes (el denominador de la fracción es $\alpha(1-e^{3\pi i/4})$ en lugar de $2\alpha$. ¿Qué estoy haciendo mal que me da respuestas diferentes?

Answer 1

La integración de $$\frac{\log^2 z}{z^2+\alpha^2}$$

alrededor de un ojo de la cerradura de contorno con la rama de corte del logaritmo en lo positivo eje real y el argumento entre el$0$$2\pi$, se obtiene a partir de los dos residuos

$$2\pi i \times \left(\frac{(\log\alpha+i\pi/2)^2}{2\alpha i} - \frac{(\log\alpha+i3\pi/2)^2}{2\alpha i}\right) \\ = \pi \frac{-\log\alpha \times 2i\pi + 2 \pi^2 }{\alpha}.$$

Por otro lado, la no-desaparición de las integrales a lo largo del contorno contribuir $$- 4\pi i \int_0^\infty \frac{\log x}{x^2+\alpha^2} dx \quad\text{y}\quad 4\pi^2 \int_0^\infty \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx.$$

Comparando las partes real e imaginaria de este modo, obtener para la primera integral $$\frac{1}{4\pi} \times \pi \times \frac{\log\alpha}{\alpha} 2 \pi \\ = \frac{\log\alpha}{\alpha} \frac{\pi}{2}.$$

También obtenemos para el bono integral $$\int_0^\infty \frac{1}{x^2+\alpha^2} dx = \frac{1}{4\pi^2} \times \pi\times \frac{2 \pi^2}{\alpha} = \frac{\pi}{2\alpha}.$$

Answer 2

Que estábamos en el camino correcto. Tenemos

$$\begin{align} \int_{-\infty}^0 \frac{\log x}{x^2+\alpha^2}dx+\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2+\alpha^2}dx&=2\pi i \left(\frac{\log (\alpha)+i\pi/2}{2i\alpha}\right)\\\\ &=\frac{\pi\log \alpha}{\alpha}+i\frac{\pi^2}{2\alpha} \end{align} \tag 1$$

Hacemos un cambio de variables en la primera integral en el lado izquierdo de $(1)$ dejando $x\to -x$. Ahora, con cuidado para evaluar $\log (-x)=\log (x)+i\pi$ revela

$$2\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2+\alpha^2}dx+i\pi\int_0^{\infty}\frac{1}{x^2+\alpha^2}=\frac{\pi\log \alpha}{\alpha}+i\frac{\pi^2}{2\alpha}\tag 2$$

cual igualando las partes reales e imaginarias de los rendimientos de $(2)$

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2+\alpha^2}dx=\frac{\pi\log \alpha}{2\alpha}}$$

y

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^{\infty}\frac{1}{x^2+\alpha^2}=\frac{\pi}{2\alpha}}$$

que de acuerdo con las respuestas reportadas por @MarkoRiedel y se obtiene con un semi-circular de contorno en lugar de un ojo de la cerradura de contorno!