Mostrar $\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\binom{2n}{n-1}$

Question

Como dice el título...

Se nos pide a mostrar que $$\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{i-1}=\binom{2n}{n-1}$$

He probado con la inducción, sino que parece que nunca trabajar con este tipo de preguntas. Necesitamos entender lo que nos están contando en el lado izquierdo. El lado derecho es obvio, estamos contando las maneras de elegir a $n-1$ elementos de un conjunto con $2n$ elementos. Pero lo que estamos contando en el lado izquierdo? Dar una sugerencia

Answer 1

Sugerencias:

• ${2n \choose n-1}={2n \choose n+1}\\$
• ${n \choose i-1}={n \choose n-i+1}$
• ${n \choose i}{n \choose n-i+1}$ - cantidad de formas de elegir los $i$ elementos del grupo de $n$ elementos y elija $n-i+1$ elementos de las $n$ elementos.

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que el coeficiente de $x^{n-1}$ en la expansión de $(1+x)^{2n}$ es la RHS.

Ahora $(1+x)^{2n}=(1+x)^n(x+1)^n$. El coeficiente de $x^{n-1}$ en la expansión de $(1+x)^n(x+1)^n$ es el LHS (después de un poco de trivial manipulación algebraica.)