El área de la superellipse

Question

Estoy viendo este video, donde D. Knuth explica la conexión de $\pi$ y factoriales, y otros asuntos (es muy interesante). Casi al final de la charla nos dice que el área de la superellipse

$$x^{\frac{1}{\alpha}}+y^{\frac{1}{\alpha}}=1$$

está dada por

$$A(\alpha) = \frac{2 \alpha \cdot\Gamma{(\alpha)}^2}{\Gamma{(2 \alpha)}}$$ que sería

$$A(\alpha) = 2 \alpha B(\alpha,\alpha) = 2 \alpha\int_0^1(1-u)^{\alpha-1}u^{\alpha-1}du $$

Yo estaba tratando de comprobar esto así que me puse

$$A\left( \alpha \right) = \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {x^{1/\alpha }}} \right)}^\alpha }dx} $$

Ahora vamos a $x = {u^\alpha }$

$$A\left( \alpha \right) = \alpha \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - u} \right)}^\alpha }{u^{\alpha - 1}}du} $$

¿Qué está pasando?

El $2$ en Knuth la fórmula probablemente proviene del hecho de que él considera el pleno de la figura y no solo la cuarta parte, como soy, pero no sé qué estoy haciendo mal aquí. Si desea comprobar, es al $1:21:00$ aproximadamente.

PD: Solo como una curiosidad, ¿ Knuth tiene un tartamudeo o es que él es sólo de pensar en demasiadas cosas en demasiado poco tiempo?

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Así que fue OK:

$$A\left( \alpha \right) = \alpha \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - u} \right)}^\alpha }{u^{\alpha - 1}}du} = \frac{{\alpha \Gamma \left( {\alpha + 1} \right)\Gamma \left( \alpha \right)}}{{\Gamma \left( {2\alpha + 1} \right)}} = \frac{{\Gamma {{\left( {\alpha + 1} \right)}^2}}}{{\Gamma \left( {2\alpha + 1} \right)}}$$

Answer 1

Yo no lo llamaría un tartamudeo. Me parece más cerca de alguien muy famoso tratando de parecer campechano; no es lo mismo que decir "um," más "estoy tan incierta como la de usted."

Dirichlet escribió una generalización de este en Über eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale. Obras completas, volumen 1, página 389.

Para la integración de la constante 1 en $$ x \geq 0, \; y \geq 0, \; x^{1/\alpha} + y^{1/\alpha} \leq 1, $$ el resultado es $$ \frac{\alpha^2 \Gamma(\alpha)^2}{\Gamma(1 + 2 \alpha)} = \frac{ \Gamma(1 + \alpha)^2}{\Gamma(1 + 2 \alpha)}, $$ multiplicar por 4 para obtener toda la cosa, $$ \frac{ 4 \; \Gamma(1 + \alpha)^2}{\Gamma(1 + 2 \alpha)}. $$ Los puntos de muestreo, $\alpha = 1/2$ es el círculo, $\Gamma(3/2) = (1/2) \sqrt \pi $ $\Gamma(2) = 1,$ así obtenemos $\pi.$ $\alpha = 1,$ tenemos un cuadrado inclinado, $\Gamma(3) = 2,$ zona es, de hecho, $2.$ $\alpha \rightarrow \infty,$ área va a $0,$ no es necesario citar a Stirling para creer que $(\alpha!)^2 / (2 \alpha)! \rightarrow 0.$ Finalmente, como $\alpha \rightarrow 0,$ nos acercamos toda la plaza, y el área de enfoques $4.$

Entiendo que parte de la técnica de Dirichlet es en Whittaker y Watson.