Comenzando con la segunda pregunta, yo me intuitivamente poner el punto en el medio si yo fuera a minimizar la distancia a todos los cuatro vértices. Tal vez su intuición traicionado?
Sin embargo, en la primera pregunta:
Suponga que el cuadrado de vértices son los puntos a $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$. Por lo tanto, un punto de $P = (x, y)$ el interior de la plaza ha $0 \leq x \leq 1; 0 \leq y \leq 1$. También, la distancia del punto a los vértices se pueden encontrar con el teorema de pitágoras.
La distancia de a$(0, 0)$$\sqrt{x^2 + y^2}$;
La distancia de a$(1, 1)$$\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}$;
La distancia de a$(0, 1)$$\sqrt{x^2 + (1-y)^2}$;
La distancia de a$(1, 0)$$\sqrt{(1-x)^2 + y^2}$;
Por lo tanto usted desea maximizar la función
$$D(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\cdot\sqrt{(1-x)^2 + (1-y)^2}\cdot\sqrt{x^2 + (1-y)^2}\cdot\sqrt{(1-x)^2 + y^2}$$
Podemos utilizar derivados para encontrar todos los candidatos puntos para el máximo y luego encontrar; Si derivamos $D$, y encontrar los ceros de su gradiente, vemos que su único cero en $(\frac12, \frac12)$. A continuación, compruebe si es un máximo, y vemos que no lo es. Ahora, la plaza es limitado y compacto, de nuestra $D$ función es continua, por lo tanto, debido a la Weierstrauss Teorema, $D$ debe tener un máximo en la plaza. Si no hemos podido encontrar con nuestra prueba, es porque la función debe estar en aumento a medida que el paso de distancia desde el centro; por lo tanto, el máximo se produce en el borde de la plaza, en uno de los bordes.
Debido a la simetría de una función, se puede entender que los valores en los bordes de la misma, por lo que el $4$ bordes tendrá un punto que maximiza la función de distancia. Uno puede, a continuación, utilizar la intuición para comprender que cuanto más lejos de los dos vértices de esa ventaja, el mejor. Si "intuición" no es lo suficientemente bueno para usted, entonces se puede utilizar de nuevo el cálculo. Déjeme saber si usted piensa que es necesario.
