Evaluar el determinante $\det\left[ \binom{2n}{n+i-j} \right]_{i,j=0}^{n-1}$

Question

Estoy tratando de demostrarlo: \begin{equation} \det\left[ \binom{2n}{n+i-j} \right]_{i,j=0}^{n-1}=\prod_{i=0}^{n-1} \frac{\binom{2n+i}{n}}{\binom{n+i}{n}} \end{equation}

He intentado jugar con el álgebra durante algún tiempo. Por ejemplo, si fijamos $i$ y consideremos un vector fila particular, tenemos: \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} \binom{2n}{n+i} & \binom{2n}{n+i-1} & \binom{2n}{n+i-2} & \dots & \binom{2n}{i+1} \end{array} \[derecha] \N - fin {ecuación} Que es igual a \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} \frac{(2n)!}{(n+i)!(n-i)!} & \frac{(2n)!}{(n+i-1)!(n-i+1)!} & \frac{(2n)!}{(n+i-2)!(n-i+2)!} & \dots & \frac{(2n)!}{(i+1)!(2n-i-1)!} \end{array} \[derecha] \N - fin{{ de la ecuación} Parece que nuestro objetivo debería ser factorizar $\binom{2n+i}{n} / \binom{n+i}{n}$ y dejar una matriz cuyo determinante evalúa a 1. Claramente: \begin{equation} \binom{2n+i}{n} / \binom{n+i}{n} = \frac{(2n+i)!}{n!(n+i)!} \cdot \frac{n!(i!)}{(n+i)!} = \frac{(2n+i)!}{(n+i)!} \cdot \frac{i!}{(n+i)!} \end{equation} Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder.

Para los interesados, el determinante dado enumera las particiones del plano contenidas en un $n\times n \times n$ cubo o, de forma equivalente, los rombos de un hexágono regular de lado $n$ .

Answer 1

Krattenthaler, en este artículo , demuestra una fórmula más general, de la cual el determinante de la OP es un caso especial. Dada la $n\times n$ matriz $\mathbf A$ con elementos

$$\mathbf a_{j,k}=\binom{p+q}{p+j-k}, \quad 1\leq j,k\leq n$$

entonces

$$\begin{align*} \det\mathbf A&=\prod_{j=1}^n \prod_{k=1}^p \prod_{\ell=1}^q \frac{j+k+\ell-1}{j+k+\ell-2}\\ &=\prod_{j=1}^n \frac{(p+q+j-1)!(j-1)!}{(p+j-1)!(q+j-1)!} \end{align*}$$

donde la fórmula del triple producto se atribuye a MacMahon . En el artículo enlazado se ofrecen varias pruebas de esta identidad determinista. Para su caso particular,

$$\prod_{j=0}^{n-1} \frac{(2n+j)!j!}{((n+j)!)^2}=\prod_{j=0}^{n-1} \frac{\frac{(2n+j)!}{(n+j)!n!}}{\frac{(n+j)!}{n!j!}}=\prod_{j=0}^{n-1} \frac{\binom{2n+j}{n}}{\binom{n+j}{n}}$$

Ver este artículo también.

Answer 2

Parece que nuestro objetivo debe ser el de factorizar... y dejar una matriz cuyo determinante sea 1.

En realidad, se puede factorizar algo para dejar una matriz de Vandermonde (generalizada).

Utilizando las operaciones de columna se puede ver que $$ \det\binom{2n}{n+i-j}=\det\binom{2n+j}{n+i}. $$ Ahora $\binom{n}{k}=\frac{n^{\downarrow k}}{k!}$ , donde $n^{\downarrow k}:=n(n-1)\ldots(n-k+1)$ por lo que el determinante que queremos calcular es simplemente $$ \det\frac{(2n+j)^{\downarrow n+i}}{(n+i)!}= \prod_i\frac1{(n+i)!}\cdot\prod_j(2n+j)^{\downarrow n}\cdot \det(n+j)^{\downarrow i} $$ (aquí utilizamos que $a^{\downarrow k+l}=a^{\downarrow k}\cdot(a-k)^{\downarrow l}$ ).

Observe que $$ \det(n+j)^{\downarrow i}=\det(n+j)^i=\prod j!, $$ así que la respuesta es $$ \prod_j\frac{(2n+j)!j!}{((n+j)!)^2}= \prod_j\frac{\binom{2n+j}n}{\binom{n+j}n}. $$

(Tal vez, todo esto también está contenido en el documento de Krattenthaler citado anteriormente. Pero en fin).