Aquí es el problema 6 del capítulo 2 de la Introducción a la Probabilidad por Bertsekas y Tsitsiklis:
Los Celtics y los Lakers se establece la reproducción de una serie de playoffs de $n$ juegos de baloncesto, donde $n$ es impar. Los Celtics tienen una probabilidad $p$ de ganar cualquier juego, independiente de otros juegos. Para cualquier positiva entero $k$, hallar los valores de $p$ que $n = 2k + 1$ es mejor para los Celtics de $n = 2k-1$.
Cuando leí esta declaración del problema, rápidamente me sentí cierta basado en la intuición de que una serie más larga es mejor cuando se $p > 1/2$. Pregunta: hay un corto periodo de prueba que nos permite ver este resultado en un vistazo?
Aquí es una solución para el problema que parece demasiado complicado, dada la evidente el resultado es intuitivamente. El cálculo no es ciertamente lo que mi cerebro hizo con el fin de tener la certeza de que la respuesta debe ser $p > 1/2$.
Imagina que los dos equipos juegan $2k + 1$ juegos, y dejar que el azar variable $N$ el número de juegos ganados por los Celtics durante la primera $2k -1$ juegos. La probabilidad de $p_{2k+1}$ de los Celtics ganar "lo mejor de $2k+1$" de la serie (que requiere ganar, al menos $k + 1$ juegos en la serie) es $$ \tag{1}p_{2k+1} = P(N \geq k+1) + P(N = k)(1 - (1-p)^2) + P(N = k-1)p^2. $$ En el otro lado, la probabilidad $p_{2k-1}$ de los Celtics de ganar un "lo mejor de $2k - 1$" de la serie es $$ \tag{2} p_{2k-1} = P(N \geq k + 1) + P(N=k). $$ Notice that $P(N=k) = \binom{2k-1}{k}p^k(1-p)^{k-1}$ and $$ P(N = k-1) = \binom{2k-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^k = \binom{2k-1}{k}p^{k-1}(1-p)^k. $$ Comparando $(1)$$(2)$, vemos que \begin{align} p_{2k+1} > p_{2k-1} &\iff P(N=k-1)p^2 > P(N=k)(1-p)^2 \\ &\iff p^{k+1}(1-p)^k > p^k(1-p)^{k+1} \\ &\iff p > \frac12. \end{align}
Si no hay más sencilla prueba, entonces ¿por qué estamos tan seguros de que al principio de lo que la respuesta debe ser?
