Express 2104 como la suma de cuatro cuadrados

Question

Cómo escribir 2104 como la suma de cuatro cuadrados.

Sé que la ecuación general para la factorización de un número en la suma de cuatro plazas, pero no sé cómo ir sobre esto, cuando algunos de los factores primos son grandes, por ejemplo, uno de 2104 de los factores primos es 263 y yo no puedo averiguar cómo escribir 263 como la suma de cuatro cuadrados.

Answer 1

$2104$ no es de la forma$4^a(8b + 7)$, por lo que por Legendre tres cuadrados teorema puede ser escrito como la suma de tres cuadrados. Una forma es $4^2+18^2+42^2$.

Sin embargo, puede ser más sencillo el uso de la norma en cuaterniones para reducir el problema a la expresión de los factores de $2104$ como suma de cuatro cuadrados.

Ahora, $2104= 2^3 \cdot 263$$2=1^2+1^1$. Así, queda expresar $263$. Una forma es $1^2+1^2+6^2+15^2$.

En cualquier caso, una simple búsqueda por fuerza bruta funciona bastante rápido y le da a estas descomposiciones de $2104$:

$0^2+4^2+18^2+42^2$

$0^2+12^2+14^2+42^2$

$0^2+18^2+22^2+36^2$

$2^2+4^2+22^2+40^2$

$2^2+8^2+10^2+44^2$

$2^2+10^2+20^2+40^2$

$2^2+16^2+20^2+38^2$

$2^2+20^2+26^2+32^2$

$4^2+16^2+26^2+34^2$

$6^2+12^2+18^2+40^2$

$6^2+12^2+30^2+32^2$

$6^2+14^2+24^2+36^2$

$8^2+10^2+28^2+34^2$

$8^2+14^2+20^2+38^2$

$8^2+20^2+22^2+34^2$

$10^2+14^2+28^2+32^2$

$12^2+22^2+24^2+30^2$

$14^2+20^2+22^2+32^2$

Answer 2

muy fácil por ordenador, y el camino a seguir si usted necesita a todas las representaciones. Por un lado, la primera cosa es que el $w^2 + x^2 + y^2 + z^2$ puede ser divisible por $4$ con todas las entradas extraño, como $1+1+1+1=4$ por ejemplo, pero si es divisible por $8$ todas las entradas debe ser par. Por lo tanto, vamos a escribir $2104 / 4 = 526$ como la suma de cuatro cuadrados y el doble de las entradas.

Siguiente, $23^2 = 529$ es demasiado grande. $22^2 = 484$ es lo suficientemente pequeño, y $526-484 = 42$ es la suma de tres cuadrados $42 = 25 + 16 + 1.$, $$526 = 22^2 + 5^2 + 4^2 + 1^2, $$ $$2104 = 44^2 + 10^2 + 8^2 + 2^2. $$

Answer 3

$36^2+24^2+14^2+6^2=2104$ es una respuesta aquí.

Answer 4

Ver http://www.alpertron.com.ar/4SQUARES.HTM para una buena explicación de lo razonable algoritmo para encontrar. El autor también da una implementación de Java que se puede experimentar. El algoritmo no determinista, pero es fácil de demostrar y poner en práctica. Si mal no recuerdo hay algoritmos deterministas, pero son bastante complicados.