Es el Álgebra Cerrado bajo las operaciones algebraicas?

Question

Nota los siguientes:

Si se toma el conjunto de números enteros $\mathbb Z$: y las operaciones de $+$ $-$

A continuación, todas las ecuaciones de la forma ($x + a_1 + a_2 + a_3+\cdots+ a_N = b$) donde $a$'s y $b$ están contenidas en $\mathbb Z$ tiene una solución en $\mathbb Z$.

Si se toma el conjunto de los Números racionales ($\mathbb Q$?): y las operaciones de $+, -, \times$ $/$

A continuación, todas las ecuaciones de la forma $$(a_{11}\times a_{12}\times a_{13}\cdots a_{1N} \times x + a_{21}\times a_{22}\times a_{23}\cdots a_{2N}\times x + \cdots +a_{N1}\times a_{N2}\times a_{N3}\cdots a_{NN}\times x= b)$$ where $un$'s and $b$ are in $\mathbb P$ has a solution in $\mathbb Q$.

Pregunta:

Si se considera el conjunto de los Números Algebraicos, vamos a llamar a $A$. y el conjunto de todas las operaciones algebraicas (significado $+, -, \times, /, \text{exponentiation}, \text{roots},$$\text{inverses of unsolvable polynomials}$)

Es toda expresión Algebraica que tienen solución en los números algebraicos?

Creo que la respuesta es no, aunque no estoy seguro:

Aquí es lo que he excavado hasta el momento:

Comenzando con los números Enteros, y utilizando únicamente Integral de las operaciones de
Si $x + 2 = 3: x = 1$
Si $2 + x + 1 = 0: x = -3$, todavía es un miembro de números enteros

Comenzando con los Racionales, y utilizando sólo las operaciones Racionales
Si $2x = 3: x = 2/3$
Si $2/3\times x + x + 1 = 0: x = -3/5$, todavía es un miembro de rational group

Comenzando con algebraicas, y mediante operaciones algebraicas
Si $x^2 = 2: x = \sqrt3$
Si $x^{\sqrt3} + x + 1 = 0$: es x un miembro de la algebraica de grupo?

Tengo una reserva que $x^{\sqrt3} + x + 1 = 0$ está incluido ya que los números algebraicos son sólo define como soluciones de ecuaciones polinómicas con positivos integral de poderes. Nota: cualquier expresión que implique poderes racionales (ex: $x^{10} + x^{13/17} + 2 = 0$) es solucionable mediante métodos algebraicos (simplemente hacer la sustitución $x^{1/17} = u$ crear: $u^{170} + u^{13} + 2 = 0$ problemas y solución de problemas utilizando métodos algebraicos). El método, sin embargo no funciona una vez $u$ ha irracional expresiones de poderes como no parece ser una manera de reducir esta ecuación para un polinomio equivalente.

Answer 1

Usted puede estar interesado en la Gelfand-Schneider teorema que dice, en particular, que no puede ser cualquier expresión algebraica raíces de la ecuación de $x^\sqrt{3} + x + 1$ porque si $x$ es un número algebraico, a continuación, $x^\sqrt{3}$ es un trascendental número.

Así que estás en lo correcto, si usted permite que no exponentes de números enteros, a continuación, los números algebraicos no son cerradas bajo las "operaciones algebraicas" como se ha definido. Esta es la razón por la gente que habla de números algebraicos en general sólo permiten a los exponentes de números enteros, porque entonces usted consigue un cierre bajo el "operaciones algebraicas".