Valor mínimo de: $x^7(yz-1)+y^7(zx-1)+z^7(xy-1)$

Question

$x$, $y$ y $z$ son positivos reales tales que a $x+y+z=xyz$. Encontrar el mínimo valor de: $$x^7(yz-1)+y^7(zx-1)+z^7(xy-1)$$

Lo puse en el formulario de $x^6y +x^6z+y^6x+y^6z+z^6x +z^6y$. Traté de AM-GM pero no está ayudando.

Answer 1

$$x^6y +x^6z+y^6x+y^6z+z^6x +z^6y \ge 6 (xyz)^{7/3}$$

También se $xyz = x+y+z \ge 3 \sqrt[3]{xyz} \implies xyz \ge 3\sqrt3$.

Answer 2

Paso:$1$ $$x^6y +x^6z+y^6x+y^6z+z^6x +z^6y \geq 6x^2y^2z^2(xyz)^{\frac{1}{3}}$$ Paso:$2$$$\frac{\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}}{3} \geq \frac{1}{(xyz)^{\frac{2}{3}}}$$ $$(xyz)^{\frac{2}{3}} \geq 3$$ Siguiente paso : Sustituir resultado del paso:$2$ paso:$1$