La disección de un triángulo equilátero en triángulos equiláteros de pares de diferentes tamaños

Question

Se sabe que un cuadrado puede ser diseccionado en otro cuadrado tal que no hay dos de los cuadrados tienen el mismo tamaño. Este es el más simple disección de ese tipo:

También es posible diseccionar un triángulo equilátero en triángulos equiláteros tal que no hay dos de ellos tienen el mismo tamaño?

Answer 1

Este documento afirma que es imposible.

Answer 2

Creo que el siguiente argumento es:

Supongamos que $ABC$ es la gran triángulo equilátero con $A$ apuntando hacia arriba y que existe un número finito de partición de $ABC$ en equliateral triángulos de tal forma que cada dos triángulos tienen diferente tamaño longitudes.

Primera nota de que en el vértice $A$ el ángulo debe ser llenado con un pequeño triángulo equilátero $AXY$. Hay un número de triángulos equiláteros $T_1,..,T_k$ en la partición con uno de los lados contenida en $XY$ y los vértices apuntando hacia abajo. Entre ellos hay uno con la menor longitud lateral: $D_1E_1F_1$ ( $D_1,E_1$ $XY$ ).

Los ángulos formados por los triángulos $(T_j)$ $D_1,E_1$ debe ser llenado cerca de sus vértices con dos triángulos equiláteros, uno de los cuales tiene menor longitud lateral de $D_1E_1$. Indicar con $A_1$ este vértice y $A_1B_1C_1$ este pequeño triángulo.

Creo que ahora podemos continuar de forma recursiva para encontrar siempre un pequeño triángulo:

• el triángulo $A_1B_1C_1$ se comporta igual que la inicial triángulo $AXY$ y encontramos uno más pequeño triángulo que señala hacia abajo con la cara contenida en $B_1C_1$

• este triángulo tiene dos vecino triángulos y uno de ellos es menor, lo que denotamos por a $A_2B_2C_2$, y así sucesivamente.

Podemos seguir este procedimiento indefinidamente, porque todo el triángulo de lados son diferentes.

Answer 3

Aunque como Ross Millikan señala, una disección es imposible, es de interés señalar que, siempre que el conteo ascendente orientado triángulos distintos, orientada hacia abajo, hay una disección en 15 triángulos. Es decir, ninguno de los upwardly orientado triángulos son del mismo tamaño, ni ninguna de las orientada hacia abajo.

http://arxiv.org/abs/0910.5199

[Nota de que el sitio permite una descarga gratuita de PDF.]