Vamos a ser$f(x)=\frac{e^x-1}{x}$$f(0)=1$. Tengo que encontrar a $f''(0)$. He tratado de resolverlo con la búsqueda de la segunda derivada de la función y después de que el uso de la regla de L'Hospital de veces más. Pero esto lleva mucho tiempo, más de lo que tengo de ello en mi examen. Es allí una manera de encontrar la $f''(0)$ más rápido?
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Sugerencia: Si usted puede utilizar la Serie de Taylor, se puede encontrar la serie: $$ \begin{align} \frac{e^x-1}{x} &=\frac{\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots\right)-1}{x}\\ &=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\dots \end{align} $$ y tomar dos de los derivados en $x=0$.
twin prime
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También se puede resolver usando la derivada de la definición. La primera derivada es: $f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{e^h-1}{h}-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-h-1}{h^2}$. Ahora, utilizando la regla de L'Hospital tiene $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{2h}=\frac{1}{2}$. Con el mismo método calculamos la segunda derivada en cero, que es $f''(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{e^h -h-1}{h^2}-\frac{1}{2})\frac{1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2he^h-2e^h+2-h^2}{2h^3}$. El Uso De L'Hôpital $f''(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2e^h+2he^h-2e^h-2h}{6h^2}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(e^h-1)}{6h}=\frac{1}{3}$
