El primer grupo de cohomología $H^1(G, \mathbb {Z})$ para $G$ finito

Question

Quiero calcular el primer grupo de cohomología $H^1(G, \mathbb {Z})$ para $G$ finito.

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Si $G$ tiene la orden de impar, $G$ tiene que actuar sobre $ \mathbb {Z}$ trivialmente. Luego $H^1(G, \mathbb {Z})= \operatorname {Hom}(G, \mathbb {Z})$ . Y $ \operatorname {Hom}(G, \mathbb {Z})$ es trivial (¿verdad?).

Si $G$ tiene incluso orden, entonces $G$ puede actuar trivialmente en $ \mathbb {Z}$ o $G$ actuando en $ \mathbb {Z}$ cambiando los generadores $1$ y $-1$ . Si $G$ actúa trivialmente en $ \mathbb Z$ y luego otra vez, $H^1(G, \mathbb {Z})= \operatorname {Hom}(G, \mathbb {Z})$ trivial.

Cómo calcular $H^1(G, \mathbb {Z})$ si $G$ actúa sobre $ \mathbb {Z}$ de forma no trivial?

Answer 1

$f \in { \rm Hom}\ (G,{ \bf Z})$ : $$ f(gh)=f(g)+f(h) $$

Eso es, $$ f(1)=2f(1) \Rightarrow f(1)=0$$

Si $g$ tiene orden $n$ entonces $$ 0=f(1)=f(g^n)=nf(g) \Rightarrow f(g)=0$$

Por lo tanto ${ \rm Hom}\ (G,{ \bf Z})=0$