Si se colocan los 10 primeros enteros positivos en un círculo (en cualquier orden), ¿hay 3 enteros en lugares consecutivos alrededor del círculo que tengan una suma > 17?

Question

Si se colocan los 10 primeros enteros positivos alrededor de un círculo, en cualquier orden, ¿existen 3 enteros en lugares consecutivos alrededor del círculo que tengan una suma mayor o igual a 17?

Esto era de un libro de texto llamado "Matemática discreta y su aplicación", sin embargo no proporciona la solución para esta pregunta.

Puedo saber cómo abordar esta cuestión.

Edito: Vuelvo a mirar la pregunta real y me doy cuenta de que es suma mayor o igual a 17. Mis disculpas.

Answer 1

La respuesta de Gerry muestra que la suma media de los triples es $16.5$ . Si no hay ninguna suma por encima de $17$ entonces al menos cinco sumas tienen que ser $17$ para que la media sea $16.5$ . Como dos sumas sucesivas no pueden ser iguales, como máximo cinco sumas son $17$ y así exactamente cinco sumas son $17$ y así las otras cinco sumas son $16$ y se alternan. Pero eso es imposible, porque implica que moviéndose por tres se sube o baja por $1$ y moviendo otros tres baja o sube por $1$ , respectivamente, lo que lleva al mismo número de nuevo.

Answer 2

Quita el número 1 y desenvuelve el círculo de números en una fila $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ , donde $\{a, b, c, d, e, f, g, h, i\}=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ . Entonces $(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)=\sum_{j=2}^{10}j = 54$ Por lo tanto, al menos uno de $(a+b+c), (d+e+f),$ o $(g+h+i)$ debe ser $\ge {54\over3}=18$ .

Answer 3

EDIT: se ha señalado que esta respuesta sólo da $\ge17$ mientras que la pregunta pide $\gt17$ . Se necesita más trabajo.

Dejemos que $A_1=a_1+a_2+a_3$ , $A_2=a_2+a_3+a_4$ y así sucesivamente, $A_{10}=a_{10}+a_1+a_2$ . Entonces $A_1+A_2+\cdots+A_{10}=3(a_1+a_2+\cdots+a_{10})=(3)(55)=165$ Así que algunos $A_i\ge165/10=16.5$ Así que algunos $A_i\ge17$ .

Answer 4

Respuesta original:

Para que todas las sumas $\le17$ Los cuatro números de $7$ a $10$ tendrían que estar separados por al menos dos números; pero se necesitaría al menos $12$ ranuras para espaciarlas así.

Como se ha señalado en los comentarios, esto es incorrecto, pero Gerry mostró cómo completarlo.

Las cifras de $8$ a $10$ deben estar separados por al menos dos números. Eso deja dos números para separar el $7$ de ellos. Si no es adyacente a ninguno de ellos, debe estar separado de ambos $8$ y $9$ por un solo número, y esos tienen que ser $2$ y $1$ , respectivamente; eso deja sólo $3$ a $6$ en las cuatro ranuras alrededor de $10$ , lo que lleva a una suma de al menos $18$ .

Así que el $7$ debe estar junto a uno de los números de $8$ a $10$ . No puede estar al lado del $9$ o $10$ porque eso llevaría a una suma de al menos $18$ incluso con $1$ y $2$ adyacente. Por lo tanto, debe estar al lado del $8$ y el argumento de Gerry completa la prueba.

Es un caso poco elegante; estaría bien una prueba más sistemática.

Answer 5

Solución: Para cualquiera de los 10 primeros enteros positivos colocados alrededor de un círculo, en cualquier orden, hay exactamente 10 opciones de 3 números consecutivos alrededor del círculo. Y cada número aparece exactamente 3 veces entre las 10 opciones. Por lo tanto, la suma de todos los números en 10 opciones de 3 números adyacentes es (1 + 2 + - - - + 10) × 3 = 165 Esto implica que al menos una opción de 3 números adyacentes tiene una suma mayor o igual a 17. En efecto, si no hay tal triple, la suma de todos los números en 10 triples será estrictamente menor que 160 porque cada uno es estrictamente menor que 16. Esto contradice que la suma de todos los triples sea 165.