Elija abrir los conjuntos de bolas en el teorema de la función implícita

Question

La conclusión del teorema de la función implícita para $\mathbb{R}^n$ dice que si $F(a, b) = 0$, entonces no es una función de $g$ a partir de un abierto $V \subseteq \mathbb{R}^m$ a una $U \subseteq \mathbb{R}^k$ tal que $g(b) = a$, e $F(u, v) = 0$ $u \in U,\ v \in V$ si y sólo si $g(v) = u$. He visto uno o dos fuentes afirman que tanto $U$ $V$ puede ser elegido para ser abierto bolas. ¿Es esto cierto? Por qué? Obviamente uno o el otro puede ser restringido, pero, ¿cómo puede ser elegido como abrir balones a la vez?

Answer 1

En general, no pueden.

El siguiente sería un ejemplo sencillo, excepto que puede tomar el abierto de los conjuntos de $\mathbb{R}^2$, sin embargo, ilustra el problema: $F(x,y) = (x_1-y_1,2x_2-y_2)$.

Para solucionar este problema, tome $F(x,y) = (x_1-y_1, x_2-y_1^2)$, y el uso de la $\|\cdot\|_2$ norma para $x$$y$. Está claro que $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = I $ todos los $x,y$, y debemos tener $g(y) = (y_1, y_2^2)$.

Si tomamos $\hat{y} = (\hat{y}_1 , \hat{y}_2)$$V=B(\hat{y}, \epsilon)$, entonces es claro que $g(V)$ no es de la forma $B(\hat{x}, \eta)$ algunos $\hat{x},\eta>0$.

Answer 2

La definición de conjunto abierto y open de bola son equivalentes desde $\mathbb R^n$ es un espacio métrico. A continuación, cada conjunto abierto que contiene un abierto de bola y cada una bola abierta es un conjunto abierto.

Answer 3

Ambos conjuntos se pueden abrir las bolas dentro de los respectivos bloques abiertos $U,V$ ; ambos pueden abrir las bolas debido a la restricción del mapa a $U,V$ es un diffeomorphism, por el teorema de la función inversa, ya que la matriz Jacobiana $Jf$ es invertible.