La singularidad de la Perfecta grupo de un determinado orden?

Question

Es no sólo un perfecto grupo (hasta el isomorfismo) de un determinado orden?

Mi pensamiento intuitivo es que un perfecto grupo tiene requisitos estrictos en el grupo de producto que debe ser único.

Que yo sepa, puesto que cada elemento de un perfecto grupo es un conmutador, entonces cualquier homomorphism entre los grupos se surjective. Esto es usando la propiedad de que para cualquier homomorphism $f:\mathbb G \to \mathbb H, \, f([h,g]) = [f(h),f(g)]$. Sin embargo, me parece estar atascado en demostrar que un homomorphism perfecta entre dos grupos de igual orden debe existir.

Hay un contra-ejemplo? Si mi actual forma de pensar es la correcta, un toque en el resto de la prueba será apreciada.

Answer 1

En realidad esto es muy falso, de hecho! El número de ${\rm perf}(n)$ de isomorfismo tipos de finito perfecto grupos de orden en la mayoría de las $n$ satisface:

$n^{l(n)^2/108−cl(n)} \le {\rm perf}(n) \le n^{l(n)^2/48+l(n)}$,

donde$l(n)= \log_2(n)$$c=11/36$. Por ejemplo, hay un gran número de perfecto grupos de orden $2^k.60$ grandes $k$.

La referencia es Holt, D. F., Enumerar perfecto grupos. J. Londres Matemáticas. Soc. (2) 39 (1989), no. 1, 67-78

Answer 2

Esto es falso. Observe que todos los simples grupos son perfectos, y con eso en mente aviso de que hay pares de finitos simples grupos de la misma orden.