Derivando las ecuaciones de la "Bianchi-Pinkall toro"

Question

Estoy tratando de trabajar explícito ecuaciones paramétricas para la "Bianchi-Pinkall plana toro" como se muestra en esta nota, pero me parece que han quedado atascado en la comprensión de las descripciones dadas en la nota.

Hasta el momento, me imaginé que las ecuaciones paramétricas en $\mathbb R^4$ debería tener este aspecto:

$$\begin{align*} x_1&=\cos(a+b\sin(2p v))\cos(u+v)\\ x_2&=\cos(a+b\sin(2p v))\sin(u+v)\\ x_3&=\sin(a+b\sin(2p v))\cos(u-v)\\ x_4&=\sin(a+b\sin(2p v))\sin(u-v) \end{align*}$$

donde me cambió $aa$ en la nota a $a$ aquí, y, respectivamente,$bb$$b$, e $ee$$p$. Me he quedado atascado en la parte que dice que para obtener el $\mathbb R^3$ incrustación, uno debe stereographically proyecto de este toro desde el punto de $(\cos c\pi,0,\sin c\pi,0)$, así como en la parte de la variación de un parámetro de $ff$$0$$2\pi$, ya que este parámetro está en ninguna parte ser encontrado en las ecuaciones paramétricas dado.

Estoy familiarizado con la costumbre del "polo norte" la proyección estereográfica,

$$\left(\frac{x_1}{1-x_4},\frac{x_2}{1-x_4},\frac{x_3}{1-x_4}\right)$$

pero no sé cómo generalizar esta fórmula para la proyección de punto dado en la nota.

En particular, quería replicar la superficie representada aquí en otra superficie de trazado programa, pero he tenido éxito en hacerlo. Gracias por la ayuda.

Answer 1

De acuerdo a este documento, $f\!f$ es sólo otro parámetro de control de la superficie. Su vinculados PDF dice que "isométricamente rota $S^3$, de modo que el círculo de Hopf $v = 0$ es el eje de rotación." Este círculo es el conjunto de puntos de $(e^{iu}\cos a,e^{iu}\sin a)$ todos los $u\in[0,2\pi)$. Se encuentra en el subespacio con base $b_1=(\cos a,0,\sin a,0)$$b_2=(0,\cos a,0,\sin a)$, y el ortogonal del subespacio tiene base $b_3=(-\sin a,0,\cos a,0)$$b_4=(0,-\sin a,0,\cos a)$. Para realizar el giro, expresa el punto de girar como una combinación lineal de $b_i$, y, a continuación, girar en un ángulo de $f\!f$ $b_3b_4$ plano.

Como para la proyección con respecto a un punto arbitrario $P$, sólo tienes que girar la esfera, para que $P$ coincide con $(0,0,0,1)$ y, a continuación, aplicar el habitual de la proyección estereográfica de la fórmula. Por la particular forma simple $P=(\cos c\pi,0,\sin c\pi,0)$, esto es, esencialmente, una rotación por $-c\pi$ $x_1x_3$ plano, es decir, $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x_1\cos c\pi+x_3\sin c\pi\\x_2\\x_3\cos c\pi-x_1\sin c\pi\\x_4\end{pmatrix}.$$ En realidad, esta mapas de $P$$(1,0,0,0)$, por lo que cambie $x_1$ $x_4$ en la proyección de la fórmula.

Por cierto, parece un poco demasiado específicas para llamar a este tipo de superficie "de la Bianchi-Pinkall toro". Una somera búsqueda revela que lo Pinkall demostrado [1] fue que "la inversa de la imagen bajo el Hopf la asignación de una simple curva cerrada en $S^2$ es un piso en toro $S^3$" [2]. Así que cualquier curva suave en el familiar 2-esfera le da un plano de toro en la 3-esfera, que probablemente llame a un Pinkall toro. No he sido capaz de averiguar cómo Bianchi viene en la imagen.

1. Pinkall, "Hopf Tori en $S^3$", Inventar. de matemáticas. 81, 1985.
2. Banchoff, "la Geometría de la Asignación de Hopf...", en los Equipos en Álgebra, Tangora (ed.), 1988.