Valor medio teorema de Riemann-integrable funciones

Question

Estoy leyendo Bressoud es Un enfoque radical a la teoría de Lebesgue de integración y hay una sección que no entiendo, por favor, lea a continuación:

Hay un valor medio teorema para funciones integrables ? Sé que hay uno para las integrales de funciones continuas. Si la continuidad de la asunción se ha caído, no sé qué hacer...

Answer 1

Supongamos $f$ es integrable (no necesariamente continua) y $\lim_{x \to a+} f(x)= L$. Para cualquier $\epsilon > 0$ no es un porcentaje ($\delta > 0$tal que $|f(x) - L| < \epsilon$ al $0 < x < a + \delta$.

Si $0 < h < \delta$, luego

$$\left|\frac{1}{h}\int_a^{a+h} f(x) \, dx - L \right| = \left|\frac{1}{h}\int_a^{a+h} (f(x) - L) \, dx \right| \leqslant\frac{1}{h}\int_a^{a+h} |f(x) - L| \, dx < \epsilon $$

Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{h \to 0+} \frac{1}{h}\int_a^{a+h} f(x) \, dx = L$.

Un argumento similar se aplica a la parte izquierda de límite. El valor medio teorema para las integrales no es necesario (ni tampoco se aplica a funciones discontinuas.)