Integrales de Pullbacks

Question

Este es un problema de Topología Diferencial de Guillemin:

Supongamos que $f_0, f_1: X \to Y$ son mapas homotópicos y que la variedad compacta sin límites $X$ tiene dimensión $k$ . Demostrar que para todo cerrado $k$ -forma $\omega$ en $Y$ , $$ \int_X f_0^*\omega = \int_X f_1^*\omega.$$

Hay una pista para utilizar un resultado de un ejercicio anterior, que dice que si $f:\partial W \to Y$ es un mapa suave que se extiende a todo $W$ y $\omega$ es un lugar cerrado $k$ -formar en $Y$ con $k = \dim \partial W$ entonces

$$\int_{\partial W} f^*\omega = 0.$$

Me parece que esto debería ser un ejercicio sencillo, pero no consigo hacerlo. ¿Algún consejo?

Answer 1

Siguiendo la pista, si $F: \partial W \to Y$ es un mapa suave que se extiende a todos los $W$ y $\omega$ es un lugar cerrado $k$ -formar en $Y$ entonces $d\omega=0$ por lo que el Teorema de Stokes da $$ \int_{\partial W} F^*\omega = \int_{W} d(F^*\omega) =\int_{W} F^*(d\omega) = \int_W 0 = 0 \tag{1} $$

Ahora dejemos que $F: X \times I \to Y$ sea una homotopía entre $f_0$ y $f$ . Desde $X\times I$ es una variedad de límites, cuya frontera viene dada por $X\times \{ 0 \} \cup X \times \{ 1 \}$ , donde $\{ 0\}$ tiene orientación $-1$ y la orientación de $\{ 1 \}$ es $+1$ entonces $$ \int_{\partial(X \times I)} F^* \omega = \int_{ X \times \{ 1 \}} F^*\omega - \int_{ X \times \{ 0 \}} F^*\omega = \int_{X} f_1^* \omega -\int_{X} f_0^* \omega $$ Sin embargo, por (1), se deduce que $\int_{\partial(X \times I)} F^* \omega=0$ por lo que se deduce la afirmación.

Answer 2

Tenemos que utilizar el Ley de Transformación Natural definido en Guillemin p.168 y p.176:

Si $f:Y\to X$ es un difeomorfismo que preserva la orientación, entonces $\int_X{\omega}=\int_Y{f^*\omega}$ para cada soporte compacto y suave $k$ -formar en $X$ .

Ahora podemos reclamar $\int_X{f^*_j\omega}=\int_Y{\omega}$ , donde $j=0$ ou $1$ que sería suficiente, pero observamos que $\omega$ está cerrado en $Y$ y su retroceso podría estar acotado en $X$ .

Así que $\int_X{f^*_j\omega}$ es engañoso, y deberíamos escribir $\int_{X \cup \partial X}{f^*_j\omega}$ . Pero esto significa que tenemos $\int_{X \cup \partial X}{f^*_j\omega}=\int_X{f^*_j\omega}+\int_{\partial X}{f^*_j\omega}$ y la segunda integral en el lado derecho es cero, por lo que el resultado se mantiene.