Convergencia de pointwise de una serie de

Question

Dada la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{1+n^2x^2}$ $ $x$ $\mathbb R$. Probar que la serie converge pointwise todos $x$ $\mathbb R$.

Por lo que sé para las secuencias, para demostrar la convergencia del pointwise puede sólo tomar el límite. ¿Esto también funciona para la serie? ¿O es la convergencia del pointwise diferente para la serie?

Answer 1

Usted puede intentar y calcular el pointwise límite, lo que equivale a calcular

$$ \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \frac{\sin(nx)}{1 + n^2x^2} $$

para todos los $x \in \mathbb{R}$. Sin embargo, como sucede a menudo ser el caso de la serie, por lo general no se puede calcular el límite de una serie, pero se puede argumentar que converge sin saber en realidad lo que converge a través de diversas pruebas.

En su caso, si asumimos que $x \neq 0$, tenemos

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\sin(nx)}{1 + n^2x^2} \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^2 x^2} $$

y el positivo de la serie en el lado derecho converge (por ejemplo, mediante la comparación con la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$). Por lo tanto, la serie original $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{1 + n^2x^2}$ converge absolutamente y, en particular, converge para todos los $x \neq 0$. Voy a dejar el caso $x = 0$.

Answer 2

Un estándar teorema dice que si $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n|

Si $x\ne0$ entonces \begin{align} \sum{n=1}^\infty \left|\frac{\sin(nx)}{1+n^2x^2} \right| & \le \sum{n=1}^\infty \frac 1 {1+n^2x^2} & & \text{because } |\sin(\text{any real number})| \le 1 \[10pt] & \le \sum{n=1}^\infty \frac 1 {n^2 x^2} & & (\text{recall that }x\ne 0) \[10pt] & = \frac 1 {x^2} \sum{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} & & \text{because %#%#% does not depend on %#%#%} \[10pt] &

El caso donde $x^2$ debe tratarse por separado, pero eso es fácil porque $n$ en ese caso.

Answer 3

Sí, si $f_n : \Bbb R \to \Bbb R$ son funciones de valoradas real, entonces $f_n$ se dice que convergen pointwise a una función $f: \Bbb R \to \Bbb R$ si cualquier dado $x \in \Bbb R$ allí es una $N > 0$ para cualquier $\epsilon > 0$de % que $|f_n(x) - f(x)| N$. Es decir, cualquier % fijo $x$, ${f_n(x)}$ converge como una secuencia de $f(x)$.

En este caso $fn(x) = \displaystyle \sum{k=1}^n \dfrac{\sin(nx)}{1+n^2x^2}$. Todo lo que tienes que hacer es demostrar que para cualquier % dado $x \in \Bbb R$, ${f_n(x)}$ converge como una secuencia de $n \to \infty$.