Resolver $$F\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y} = y$$
sujeto a $F(s,0) = s^2$.
Esta es la primera vez que uso el método de las características, así que me gustaría saber si cometí algún error en mi trabajo. Tengo $$ \frac{dx}{dt} = z, \quad \frac{dy}{dt} = -1, \quad \frac{dF}{dt} = y $$
Al resolver estas ecuaciones tengo $$ y = -t + y_0, \quad F =-\frac{t^2}{2} + y_0t + F_0, \quad x = -\frac{t^3}{6}+\frac{y_0 t^2}{2} + F_0t + x_0 $$
Luego asumo, sin pérdida de generalidad, que $y_0 = 0$, entonces $$ y = -t, \quad F =-\frac{t^2}{2}+ F_0, \quad x = -\frac{t^3}{6} + F_0t + x_0 $$
Las curvas características son, por lo tanto, curvas de la forma $$ t \mapsto \left(-\frac{t^3}{6} + F_0t + x_0,\quad-t,\quad -\frac{t^2}{2}+ F_0 \right) $$
Ahora puedo usar la condición inicial $F(s,0) = s^2$. Esto significa que sustituyo $x = s, y = 0$ y $F = s^2$ y resuelvo para $x_0, F_0$ y $t$ . Por lo tanto, $$ y = 0 \implies t = 0, \quad s = x_0, \quad s^2 = F_0 $$
Entonces la parametrización de la superficie de solución es $$ (s,t) \mapsto \left(-\frac{t^3}{6} + s^2t + s,\quad-t,\quad -\frac{t^2}{2}+ s^2 \right) $$
Para obtener esto en términos de $x$ y $y$ sé que $-y = t$, así que $$ x = \frac{y^3}{6} - s^2y + s \implies s = \frac{1\pm\sqrt{1-4y\left(x-\frac{y^3}{6} \right)}}{2y} $$
Por lo tanto $$ F(x,y) = -\frac{y^2}{2} + \left( \frac{1\pm\sqrt{1-4y\left(x-\frac{y^3}{6} \right)}}{2y}\right)^2 $$
Esta función no está bien definida cuando $y = 0$ o cuando el término dentro de la raíz cuadrada es negativo.
¿Cometí algún error en algún lugar o está correcto el trabajo?
