Calcular el límite de la derivada de una suma de funciones de digamma

Question

El (verdadero) digamma función es nuevo para mí y me doy cuenta de que en algunas circunstancias una suma de $\log\Gamma$ funciones tendrá un derivado que consiste en una suma de digamma funciones que convergen en una constante a medida que x tiende a infinito.

Parece cierto, por ejemplo, que el $s_n= \sum\limits_{k=1}^{n}a_k \log\Gamma(b_k x) $ tendrá un derivado de la clase anterior si $\sum\limits_{k=1}^{n}a_kb_k = 0$. A continuación, $\lim\limits_{x\to\infty}^{}\frac{ds_n}{dx} = $ constante.

Un ejemplo:

$s_n = \log\Gamma(x)- \frac{3}{2}\log\Gamma(\frac{x}{2})-\frac{1}{3}\log\Gamma(\frac{x}{12})-\frac{8}{9}\log\Gamma(\frac{x}{4}). $

La suma

$\sum a_kb_k = 1 - \frac{3}{4}-\frac{1}{36}-\frac{8}{36} = 0 $

Y, escribir $\psi(x)$ para la función digamma,

$\frac{ds_n}{dx} = \psi(x) - \frac{3}{4}\psi(\frac{x}{2})-\frac{1}{36}\psi(\frac{x}{12})-\frac{8}{36}\psi(\frac{x}{4}) $.

Aquí está mi pregunta. Si me preguntan Mathematica para encontrar $\lim\limits_{x\to \infty}\frac{ds_n}{dx}$, ofrece:

$\frac{1}{36}(45\log(2)+\log(3))$. Puede alguien explicar cómo se calcula? Gracias.

Answer 1

Cuando $x$ es grande, se sabe que $\psi(x) = \ln x + O(\frac1x)$. Por lo tanto$ $ \frac{ds_n}{dx} = \ln x - \frac34 (\ln x - \ln 2)-\frac1{36} (\ln x - \ln 12)-\frac8{36} (\ln x-\ln 4) + O(1/x), $$ y la derecha es $\frac1{36}(45\ln 2+\ln 3) + O(1/x)$.