Dejado a, b, c que el número real positivo, prueba.

Question

Dejado a, b, c que el número real positivo, que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$. Demostrar que:

$\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2} \leq \frac{3}{16}$

¿Puede alguien ayudarme cómo lidiar con él?

Answer 1

desde $$(x+y)^2\ge 4xy$ $ así $$(a+b+2c)^2=(a+c+b+c)^2\ge 4(a+c)(b+c)$ $ para $$\sum{cyc}\dfrac{16}{(a+b+2c)^2}\le\sum{cyc}\dfrac{4}{(a+c)(b+c)}=\dfrac{8(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}$ $ y uso esta bien desigualdad $$(a+b)(b+c)(c+a)\ge\dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$ $ %#% tan #% $ desde $$\dfrac{8(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}\le\dfrac{9}{ab+bc+ac}\cdots (1)$ $ así $$a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Longrightarrow 3(ab+bc+ac)=3abc(a+b+c)\le (ab+bc+ac)^2$ $ así $$ab+bc+ac\ge 3$ $