¿Hay alguna diferencia entre las notaciones $\int f(x)d\mu(x)$ y $\int f(x) \mu(dx)$ ?

Question

Supongamos que $\mu$ es una medida. ¿Hay alguna diferencia de significado entre la notación

$$\int f(x)d\mu(x)$$

y la notación

$$\int f(x) \mu(dx)$$ ?

Answer 1

Sólo para añadir a lo que ya se ha dicho -- las anotaciones $\int f\,d\mu$ , $\int f(x)\,\mu(dx)$ y $\int f(x)\,d\mu(x)$ son todos muy comunes y tienen idéntico significado. También existe la notación aún más breve $\mu(f)$ por lo que se puede considerar la medida como algo que actúa directamente sobre una función. Incluso se pueden omitir los paréntesis y escribir simplemente $\mu f$ según Kallenberg, Fundamentos de la probabilidad moderna . Si no tienes ninguna razón para escribir explícitamente la variable de integración, entonces cualquiera de $\int f\,d\mu$ , $\mu(f)$ , $\mu f$ (aunque la primera es probablemente la más clara para la mayoría de la gente). Si $\mu$ es una medida de probabilidad, entonces $\mathbb{E}_\mu[f]$ también es común o, simplemente, $\mathbb{E}[f]$ (el expectativa o valor esperado de $f$ ) si no hay confusión sobre qué medida se está utilizando. Si necesita escribir la variable, no creo que haya ninguna preferencia real entre $\mu(dx)$ y $d\mu(x)$ . Aunque esta última parece un poco más coherente con la notación $\int f\,d\mu$ La primera suele ser más conveniente. Esto se debe a que a veces nos vemos obligados a utilizar esta notación cuando hay más de una variable, y es bueno ser coherente. Por ejemplo núcleo $\mu(x,A)$ es una función medible de la primera variable, $x$ y es una medida en el segundo, $A$ . A continuación, escriba $\int f(x,y)\,\mu(x,dy)$ para la integral, mientras que $\int f(x,y)\,d\mu(x,y)$ sería confuso.

Acabo de mirar las introducciones de algunos de mis libros de texto sobre probabilidad y Revuz & Yor, Martingalas continuas y movimiento browniano menciona explícitamente varias notaciones que deben utilizarse indistintamente.

Para una medida $m$ en $(E,\mathcal{E})$ y $f\in\mathcal{E}$ la integral de $f$ con respecto a $m$ si tiene sentido, se denotará $$ \int f\,dm,\ \int f(x)\,dm(x),\ \int f(x)\,m(dx),\ m(f),\ \langle m,f\rangle, $$ y en caso $E$ es un subconjunto de un espacio euclídeo y $m$ es la medida de Lebesgue, $\int f(x)\,dx$ .

Así pues, se trata de las cuatro notaciones diferentes mencionadas anteriormente junto con la adicional $\langle m,f\rangle$ lo cual, debo decir, no creo que sea muy común en absoluto.

Answer 2

No hay diferencia de significado. He cogido cinco libros al azar de mi estantería y cuatro de cinco utilizan la forma $\int f(x) \mu(dx)$ mientras que uno utiliza la forma $\int f(x) d\mu(x)$ . La forma que suprime la variable de integración $\int f d\mu$ también es muy común. Nunca he visto $\int f(x) d\mu$ que me parece un híbrido extraño. Yo trabajo en la probabilidad por lo que puede haber algún sesgo.

Answer 3

A veces, encuentro la $\mu(dx)$ intuitiva. Informalmente, si pensamos en $dx$ como representando un "trozo" infinitesimalmente pequeño de la recta real, entonces $\mu(dx)$ es su medida.

Como ejemplo formal, veamos $F$ sea continua hacia la derecha y creciente y $f$ continua. Sea $\mu$ sea la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a $F$ Eso es, $\mu((a,b])=F(b)-F(a)$ . Sea $\{x_j\}_{j=1}^n$ sea una partición de algún intervalo $I$ y que $\Delta x_j = (x_{j-1},x_j]$ . Aunque es habitual dejar $\Delta x_j$ denotan el longitud de este intervalo, en los casos en que podamos aplicar diferentes nociones de longitud al mismo intervalo, puede tener más sentido dejar simplemente que $\Delta x_j$ denotan el propio intervalo.

En este caso, tenemos $$ \int_I f(x)\,\mu(dx) = \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n f(x_j)\mu(\Delta x_j), $$ siempre que la malla de la partición tienda a cero. En este caso, la $\mu(dx)$ mantiene la coherencia notacional entre ambos lados de la igualdad.

Dicho esto, sin embargo, si usted decide utilizar $\mu(dx)$ o $d\mu(x)$ el significado es el mismo.

Answer 4

Los convenios que he visto son los siguientes. Cuando no hay necesidad de ver la variable de integración, $\int f\, d\mu$ se utiliza y es preferible. No es necesario mostrar una variable ficticia que no se utiliza.

Cuando necesite ver la varible de integración, como necesita verla aquí, $$E(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 \, dF_X(x),$$ se pone la variable de integración entre paréntesis después del integrador. He visto el $\mu(dx)$ notación en algunos libros de probabilidad antiguos.