Identificación de una función: $\sum_{k=1}^\infty(\log(k))^n\frac{z^k}{k}$

Question

Recientemente me encontré con la siguiente función

$$\sum_{k=1}^\infty(\log(k))^n\frac{z^k}{k}$$

Encontré al ocuparse de la función del polylogarithm, $Lin (z)$ (aviso de que si hubiese en lugar de $(\log(k))^n$ $k^n$ entonces la expresión anterior se convertiría en $Li{1-n}(z)$. Todavía estas funciones son muy diferentes.)

¿Me preguntaba si esta función es conocida, y si hay buenas aproximaciones numéricas para estimarlo?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Su suma puede expresarse en términos de derivados de un polilogaritmo con respecto al orden. Para todos los$|z|<1$, tenemos: $$ \begin{align} (-1)^n\frac{ \partial^n}{\partial s^n} \left.\operatorname{Li}_s(z)\right|_{s=1} &= (-1)^n \frac{\partial^n}{\partial s^n} \left.\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}\right)\right|_{s=1} \\ &= (-1)^n \sum_{k=1}^\infty z^k \frac{\partial^n}{\partial s^n}\left.\left(\frac{1}{k^s}\right)\right|_{s=1} \\ &= (-1)^n \sum_{k=1}^\infty z^k\left.\left(\frac{(-1)^n\log^n(k)}{k^s}\right)\right|_{s=1} \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k \log^n(k)}{k}. \end {align} $$