¿Una elevación de una incrustación topológica sigue siendo una incrustación?

Question

Dejemos que $p\colon E\to X$ sea un mapa de cobertura y $f\colon Z\to X$ una incrustación topológica. Supongamos que $F\colon Z\to E$ es una elevación de $f$ . Es $F$ ¿sigue siendo una incrustación? ¿Y si asumo que $Z$ está conectada y conectada localmente?

Parece que se trata de una cuestión trivial. De alguna manera, no he podido responderla. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Dejemos que $g\colon f(Z) \to Z$ denotan la inversa de $f$ . Por definición de una incrustación, $g$ es continua. Ahora

$$g \circ p \colon F(Z) \to Z$$

es claramente un mapa continuo, y $g \circ p$ es la inversa de $F$ . Por lo tanto, $F$ es una incrustación.