Por favor, ayúdenme a resolver $\lim\limits_{m\to\infty}\left(\cos\frac xm\right)^{m}$ .
$1\approx 2$ pero no tienen los mismos límites.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?La aproximación $\cos(x)\approx 1-\frac{x^2}{2}$ (que tiene varias pruebas geométricas) y la aproximación binomial $(1+t)^n\approx 1+nt$ son suficientes para darle $\displaystyle\left(\cos\frac{x}{m}\right)^m\approx\left(1-\frac{x^2}{2m^2}\right)^m\approx 1-\frac{x^2}{2m}$ y, por supuesto, tomando el límite como $m\to\infty$ en esta última expresión es trivial.
@MichaelAlbanese Eso depende enteramente de lo que su uso de $\approx$ es. Estoy utilizando (informal e implícitamente) una versión en la que $a\approx b+c$ significa $a=b+c+o(c)$ Es fácil formalizar estas manipulaciones y para una prueba uno obviamente querría ser mucho más cuidadoso de lo que yo fui aquí, pero para un problema tan simple sentí que la notación extra sólo estorba.
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Otra forma $$\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\left(\cos\frac xm-1\right)\right)^{m}=\lim\limits_{m\to\infty}\exp{\left(\frac{\left(\displaystyle\cos\frac xm-1\right)}{\displaystyle\left(\frac{x}{m}\right)^2}\times \displaystyle\frac{x^2}{m}\right)}=\lim\limits_{m\to\infty}\exp{\left(\displaystyle-\frac{1}{2}\times\frac{x^2}{m}\right)}=\exp(0)=1$$
Hecho.
openidwontworkthrowawayaccount
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La regla de l'Hôpital
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Fíjate en esto $\cos(\frac{x}{m})\sim 1$ como $ m\to \infty $ .
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@MhenniBenghorbal Fíjate en esto ... Exactamente el error que hay que evitar. Tenga en cuenta que $1\sim1$ , $1+1/m\sim1$ y $1+1/\sqrt{m}\sim1$ mientras que $1^m\to1$ , $(1+1/m)^m\to\mathrm e$ y $(1+1/\sqrt{m})^m\to\infty$ .
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@MhenniBenghorbal Lo pensé, pero $1^\infty$ sigue siendo indeterminado en ese caso.