Por lo que he aprendido sobre esta fórmula $$ f (x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)} {2} $$ y me pregunto, ¿es de algún valor para expresar una función en esta forma?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
John Hughes
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Hay un valor adicional más allá de los que se mencionan en los comentarios, y es que esta separación de una función, junto con la descomposición de una matriz como una suma de una simétrica y skew-simétrica, y expresar un número complejo como el que es invariante bajo la conjugación (un real) y uno que niega la virtud de la conjugación (un imaginario puro), y expresar un vector como la suma de sus perpendicular proyección sobre un subespacio $W$ y su proyección sobre el subespacio ortogonal $W^\perp$ -- es una técnica que se utiliza una y otra vez: para encontrar el "incluso" parte, promedio de la función con su reflejo, y el resultado TIENE que ser par. La misma técnica funciona para hacer todas esas otras cosas (promedio de la matriz con su transpuesta, etc.).
Hay dos maneras de ver esto.
Uno es que si usted tiene una transformación (como "negar el argumento de una función") que, cuando se realiza dos veces, equivale a la identidad, y la transformación es lineal, entonces el dominio de la transformación se divide como una suma directa de las $+1$ $-1$ subespacios propios. Si no se ha estudiado álgebra lineal, que sólo gobbledegook a usted, y me disculpo-el punto es que hay un marco general en el que estos diversos trucos puede ser entendido como parte de un todo coherente.
Otra forma es decir que "negar el argumento de" es una operación que se aplica a funciones, como es "mantener el argumento de la misma". Estas dos operaciones forman una algebraixc estructura llamada un "grupo", y lo que tienes es un "grupo de acción" de este grupo de elementos en el conjunto de las funciones de$R$$R$. El paso crítico en el que se divide a tomar una función y 'actuar' por cada elemento del grupo (sólo hay dos) y el promedio de los resultados. Este truco' --- un promedio de más de un grupo de acción --- es otro de los que sigue produciendo interesantes resultados en matemáticas, así que es bueno saber acerca de (y para ver ejemplos temprano!). Un ejemplo de ello es que esta es la forma en la medida de Haar para toplogical grupos se crea. (De nuevo, pido disculpas si esto está más allá de su actual experiencia matemática.)
