Raíces cuadradas de enteros y campos ciclotómicos.

Question

<blockquote> <p>Para cada $ N \in \mathbb Z$ allí existe un número entero $n$ tal que $ \sqrt N \in \mathbb Q(\zeta_n)$.</p> </blockquote> <p>Estoy luchando donde iniciar esta pregunta, por favor, me sugieren algunas pistas.</p>

Answer 1

Esto se desprende de un muy general resultado, llamado el de Kronecker-Weber Teorema, que dice que cada finito abelian extensión de $\mathbb Q$ está contenida en un cyclotomic extensión. La prueba es bastante involucrado, ya sea utilizando el campo de clase de teoría o de la que se deriva de la correspondiente teorema de los campos locales. El caso especial de la ecuación cuadrática extensiones, sin embargo, se puede demostrar directamente.

Recordemos que $\mathbb Q(\zeta_n,\zeta_m) = \mathbb Q(\zeta_{\operatorname{lcm}(m,n)})$. Así que si $N = ab$ y sabemos que $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$ están contenidos en un cyclotomic extensión, entonces el mismo es cierto para $N$. Por lo tanto, podemos asumir que $N$ es un primer $p$ o (desde $\sqrt{-1} \in \mathbb Q(\zeta_4)$) la negativa de un primo, $N=-p$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar:

1. $\sqrt{2} \in \mathbb Q(\zeta_8)$. Mostrar que $\zeta_8 + \zeta_8^{-1}$ es una raíz cuadrada de $2$.
2. Si $p$ es un primer e $p \equiv 1 \pmod 4$$\sqrt{p} \in \mathbb Q(\zeta_p)$.
3. Si $p$ es un primer e $p \equiv 3 \pmod 4$$\sqrt{-p} \in \mathbb Q(\zeta_p)$.

La segunda y tercera parte se puede hacer mirando a la suma de Gauss $\sum_{a =1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta_p^a$.