Cómo probar este$a_{n}>1$

Question

deje$0<t<1$ y$a_{1}=1+t$, y tal$$a_{n}=t+\dfrac{1}{a_{n-1}}$ $

muestra esa $a_{n}>1$

Mi intento: desde$$a_{1}=1+t>1$ $$$a_{2}=t+\dfrac{1}{a_{1}}=t+1+\dfrac{1}{1+t}-1>2\sqrt{(t+1)\cdot\dfrac{1}{1+t}}-1=2-1=1$ $

$$a_{3}=t+\dfrac{1}{a_{2}}=t+\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{t+1}}=t+\dfrac{t+1}{t^2+t+1}=1+\dfrac{t^3+t}{t^2+t+1}>1$ $$$\cdots\cdots\cdots$ $ Pero$a_{n}$ es muy feo, por lo que este problema puede usar otros métodos. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Dejemos$\displaystyle \mu = \frac{t + \sqrt{t^2+4}}{2}$, tenemos

PS

De esto, obtenemos

$$\mu > 1\quad\text{ and }\quad\mu(t - \mu) = \left(\frac{t + \sqrt{t^2+4}}{2}\right)\left(\frac{t - \sqrt{t^2+4}}{2}\right) = -1$ $ Esto implica que si$$a_{n+1} - \mu = t - \mu + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_n} - \frac{1}{\mu} = \frac{\mu - \alpha_n}{\mu a_n}$, entonces

PS

Aviso $$ \begin{align} ( 1 - \mu)^2 - (a_1 - \mu)^2 = & (1 - \mu)^2 - (1 + t - \mu)^2 = (1 - \mu)^2 - (1 - \frac{1}{\mu})^2\\ = & (1-\mu)^2(1 - \frac{1}{\mu^2}) > 0 \end {align} $$

Tenemos $a_n > 1$. Dado que todos los$$|a_{n+1}-\mu| = \frac{|a_n - \mu|}{\mu a_n} < \frac{|a_n -\mu|}{\mu} < |a_n - \mu|\tag{*1}$ en este intervalo$a_1 \in (1,2\mu - 1) = (\mu - (\mu - 1),\mu + (\mu - 1))$, podemos aplicar repetidamente$x$ para concluir que todos los$> 1$ pertenecen a este intervalo y, por lo tanto,$(*1)$.

Answer 2

De hecho, tenemos$$1<a_{n}<1+t$ $

Podemos usar la inducción matemática para demostrarlo.