He intentado todo lo que yo sé, pero yo no podía resolver esta serie:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan(n)\right)$$
Qué divergen o convergen?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: $$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan(n)\right) = \dfrac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\arctan\left(\frac 1n\right)\right)$$
Entonces, claramente, como $\;n \to \infty,\; \dfrac 1n \to 0$
Tal vez utilice el límite de la prueba de comparación? Tal vez la integral de la prueba?
Sugerencia adicional:
Para utilizar el límite de la comparación de la prueba, según lo sugerido por Mhenni en el comentario de abajo, considere la posibilidad de $\displaystyle \sum b_n = \sum \left(\dfrac 1n\right)\,,\;\,$ y la nota que $$\;\lim_{n \to \infty} \frac{\arctan(1/n)}{1/n}=1,\;$$ meaning the two series either converge together or diverge together. So apply what you know about the behavior of $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac 1n\;$ a la tarea en mano.
