Por qué es $\langle a,b\mid 2a=2b\rangle\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2$

Question

Pregunto, por qué es %#% $ #%

Soy bastante nuevo con los generadores del grupo. En este caso, los coeficientes son en $$\langle a,b\mid 2a=2b\rangle\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2?$, y estamos en el caso abeliano.

Gracias por algún consejo.

Actualización: me di cuenta de una idea: que $\mathbb{Z}$ que son elementos en $a=(1,1), b=(1,0)$. Entonces $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2$ generar $a,b$ y satisfacer el % de relación $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2$. ¿Esta es la forma correcta para verlo?

Answer 1

Considerar el mapa $f\colon\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2$ definidas en $f(m,n)=(m,n\pmod2)$. Es un homomorfismo de grupo sobreyectiva y por lo tanto $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2\simeq(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z})/\ker f$. Pero $\ker f$ a,b\rangle$$(0,2)=2(0,1)=2\bigl((1,1)-(1,0)\bigr)=2(a-b).$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_2$On the other hand, $a$. So, $b$ is generated by $2a=2b$ by$ and $$ and by the relation $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}=\langle generado.

Answer 2

Buen trabajo hasta ahora; usted está en el camino correcto.

$G \cong \langle S | R \rangle$ significa que $G$ es el más libre grupo generado por $S$ sujeto al conjunto de las relaciones de $R$; es decir, que los generadores de $G$, están sujetos a ninguna adicionales de las relaciones, no equivalentes a las ya mencionadas.

Su $a = (1,1)$ $b = (1,0)$ opciones de generar $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$ y satisfacer la relación dada. Para comprobar que $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2 \cong \langle a, b \ | \ 2a = 2b \rangle$, solo necesitamos comprobar que $a$ $b$ no están sujetos a ningún adicional de las relaciones, no ya implícita por $2a = 2b$.

Ahora, observe que podemos reescribir alguna relación con el ser en la forma $w= \text{id}$ para algunos la palabra $w$. Así, para el problema en cuestión, cuando podemos tener $w = (0,0)$ donde $w$ es una palabra en letras $a$$b$? Muy bien, nuestras cartas de viaje, así que cualquier palabra puede escribirse en la forma equivalente $a^nb^m$ algunos $n, m \in \mathbb{Z}$. Finalmente, $a^nb^m = (n+m, \ [m]_2)$. Si este es igual a $(0,0)$, debemos tener $m$ a y $n=-m$; puede ser cualquier de las relaciones, no ya implícita por $2a = 2b$?

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Nota: pido Disculpas por cualquier confusión que surja en el último párrafo debido a mi cambio entre la notación multiplicativa para grupos generales y el estándar de notación aditiva de los números enteros y su cociente de grupos.