Si $G$ es una real Mentira grupo, entonces la colección de clases de isomorfismo de irreductible unitario reps. de $G$ es conocido como el unitario doble de $G$,
y el problema de preguntar acerca de, es decir, de forma explícita que describe la central unitaria de doble
de $G$, es uno de los principales problemas abiertos en la teoría.
Si $G$ es compacto, entonces cualquier finito-dimensional irreductible es la representación unitaria (que puede tomar cualquier positiva definida producto interior en el espacio vectorial subyacente de la representación y, a continuación, el promedio es de más de $G$), y a la inversa, cualquier irreductible unitario rep. es finito-dimensional (esto es parte de la Pedro--teorema de Weyl).
Por supuesto, el finito dimensionales irreps. de $G$ están clasificados por costumbre mayor peso de la teoría, y así el problema se soluciona compacto $G$.
Para abelian $G$, la central unitaria de irreps. de $G$ son solo personajes, y de modo unitario de la doble de $G$ coincide con su Pontrjagin dual, por el cual hay un
detallada de la teoría, que es más o menos completamente entendido.
El principal problema abierto es el caso cuando se $G$ es semi-simple, pero no compacto.
Para $GL_n(\mathbb R)$ (que no es semi-simple, supongo, pero es tan modulo de su centro) la clasificación es completa (es debido a David Vogan). Se sabe
en algunos otros casos (por ejemplo, Vogan también tratada $G_2$). Creo que uno debe ser capaz de deducir el unitaria doble para $SL_n(\mathbb R)$ en el caso de $GL_n(\mathbb R)$ (y me imagino que esto se hace en la literatura).
Para cualquier código semi-simple grupos, Harish--Chandra clasificados el discreto serie de representaciones, que son la central unitaria de irreps. que puede ser embebido en $L^2(G)$, y (edificio en Harish--Chandra resultados) Knapp y Zuckerman clasificados el llamado templado irreps. para cualquier $G$.
Hay otros resultados conocidos; algunos de los nombres relevantes son --- además de la Vogan --- Adams, Arthur, Barbasch, Schmid y Vilonen. Sin embargo, hasta donde yo sé, por el momento el problema sigue abierto para general semisimple grupos.
