Cómo probar que todos los conjuntos de vectores suaves en un conjunto de vectores dado son el retroceso de un conjunto de vectores en la base

Question

Recientemente, durante una conversación, escuché sobre el resultado (mencionado anteriormente también aquí en MO), cuya declaración se informa a continuación. El no tener antecedentes específicos necesarios para la reconstrucción de una prueba de un (probablemente estándar) resultado por mí mismo, me gustaría tener algunos consejos, o, al menos, saber las referencias que contiene su prueba.

Notaciones

Todos la consideran objetos y mapas son lisas. Deje $E\longrightarrow B$ $F\longrightarrow E$ ser vector de paquetes.
Embedd $B$ a $E$ a través de la sección cero de $E\longrightarrow B$, y deje $F_B\longrightarrow B$ ser el vector paquete obtenidos por la restricción de $F\longrightarrow E$$B$.

Declaración de

Existe $\rho:F\longrightarrow E\times_B F_B$, no-canónica vector paquete de isomorfismo $\operatorname{id}_E$, de tal manera que $\rho|_{F_B}=\operatorname{id}_{F_B}$.

Answer 1

Esto se deduce del hecho de que al retroceder por los mapas homotópicos se producen haces isomorfos.

Deje que$ p:E\to B $ y$ s:B\to E $ denoten la proyección y la sección cero, respectivamente. Estos son homotopy inverses. En particular,$ sp $ es homotópico a la identidad, por lo que$(sp)^*F=p^*s^*F =E\times_B F_B $ es isomorfo para$ F$.

Answer 2

Como seguimiento a los comentarios colocados en el OP después de la respuesta de Mark Grant, me gustaría añadir algunos detalles. Espero que el OP va a encontrar un útil complemento a la respuesta de la Marca de la Subvención.

Deje $\pi:E\longrightarrow M$ ser un vector paquete, y se $H$ un homotopy de $N$ $M$$$\begin{align}H:N\times[0,1]&\longrightarrow M\\(x,t)&\longmapsto H_t(x)=H^x(t).\end{align}$$ Entonces un vector paquete de isomorfismo $\rho:H_0^\ast E\longrightarrow H_1^\ast E$ puede ser construido de la siguiente manera.

Arreglar una conexión directa $\nabla$ sobre el vector paquete de $E\longrightarrow M$. Para cualquier curva suave $\gamma:[0,1]\to M$, dejar que el isomorfismo lineal $\operatorname{Pt}[\gamma]:E_{\gamma(0)}\longrightarrow E_{\gamma(1)}$ ser el asociado paralelo trasport en $(E,\nabla)$.

Finalmente, para cualquier $(x,u)\in H_0^\ast(E):=N\times_{(H_0,\pi)}E$, definir $$\rho(x,u)=(x,\operatorname{Pt}[H^x](u)\in H_1^\ast(E):=N\times_{(H_1,\pi)}E.$$

Además, para cualquier $A\subset N$ si $H$ es un homotopy rel $A$, es decir,$H_t(x)=H_0(x)$, para todos los $x\in A$, $\rho$ actúa como el mapa de identidad en $(H_0|_A)^\ast E$.

Tenga en cuenta que la arbitrariedad de la elección de este $\nabla$ efecto de la construcción de la $\rho$, por lo que este procedimiento no establece un isomorfismo canónico entre los pull-backs.

Edit he encontrado esta presentación por Scott Morrison mucho más completo que mi respuesta corta.