¿Hay un nombre para esta propiedad topológica?

Question

Para un espacio topológico $T=(X, \tau)$, a continuación, $A \subset X$ es $ \boxed{\quad\vphantom{A}\quad}$ si no es $\{\mathscr{T}_\alpha \} \subset \tau $ tales que

• para cada $a \in A$ hay $\mathscr{T}_a \in \{\mathscr{T}_\alpha \}$ tal que $a \in \mathscr{T}_a$, y

• para cada $a, b \in A$ con $a \neq b$, a continuación, $\mathscr{T}_a \bigcap \mathscr{T}_b = \emptyset$.

Por ejemplo, según la costumbre de la topología con $X=[0,1]$, luego

$ \{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \}$ es $\boxed{\quad\vphantom{A}\quad}$, pero

$\mathbb{Q} \cap (0,1)$ no $\boxed{\quad\vphantom{A}\quad}$.

Answer 1

Esto implica $A$ es (relativamente) discretas, es decir, discreta en la topología de subespacio. Es claro que $\mathcal{T}_a \cap A = \{a\}$. (Por CIERTO, "estilo" es mejor para el nombre de los conjuntos de $O_a$, dicen, como $\mathcal{T}_a$ le sugieren una familia de conjuntos en lugar de sólo uno.)

Si tenemos totalmente (es decir, también fuera de $A$) discontinuo $O_a$ como de la demanda, se podría decir que el $O_a$ son simultáneamente "separados" (no hay término estándar): es la conclusión cuando un espacio es llamado collectionwise Hausdorff: un espacio que se llama que cuando todos los relativamente conjunto discreto $A$ tiene una separación de la familia de pares distintos bloques abiertos.

E. g. todos los espacios métricos tienen esta propiedad: son paracompact (lo que implica collectionwise normal que implica collectionwise Hausdorff). Así que en un espacio métrico todos los conjuntos discretos son simultáneamente "separados", y no hay ninguna diferencia real. En general, un espacio de Hausdorff no necesita ser collectionwise Hausdorff, y no podría ser un subespacio discreto sin una simultánea de separación. E. g. Bing es un ejemplo de "H" (comentado aquí) es un ejemplo clásico de esto.

Tal vez llamar a $A$ "muy discreto" también sería una opción. No estoy seguro de si ya está tomada o no. Podríamos decir, entonces, que $X$ es Collectionwise Hausdorff iff cada subespacio discreto está fuertemente discretos (o simultáneamente separado). Sólo un pensamiento.