Ecuación para el campo de un dipolo magnético.

Question

En mi electrodinámica de clase, mi profesor deriva de la ecuación para el campo del dipolo magnético

$$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^3}[3(\vec{m}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{m}]+\frac{2\mu_0}{3}\vec{m}\delta^3(\vec{r})$$

Y hasta donde tengo entendido, la función delta sólo tiene valor en $\vec{r}=0$, pero el primer término no está definido en cero. Así que mi pregunta es ¿cómo funciona el campo de la apariencia en $\vec{r}=0$, no acabamos de tomar un plazo en función de lo que el valor de o $\vec{r}$ es?

Answer 1

En las páginas 187 y 188 Jackson explica la razón de este término en singular. Si usted toma un dipolo cuya magnetización se distribuyen de manera uniforme en una esfera de radio $R$ a continuación, se puede demostrar que $\int_{r<R} \textbf{B}\: d^3{x} =\frac{2\mu_0}{3}\textbf{m}$ donde $\textbf{m}$ es el momento dipolar total. Como uno se reduce a la esfera de un radio de $R\to 0$ la esfera se convierte en punto -, pero la integral queda la misma.

Curiosamente, si el dipolo resultado de un par de monopolo cargos infinitesimalmente cerca el uno del otro y no de una circulación de corriente, el término en el lado derecho sería $-\frac{\mu_0}{3}\textbf{m}$. En la página 191 Jackson comenta que el hidrógeno del hiperfina línea sería en 42cm no en 21cm, etc. Esto es contrario a experimentar lo que implica que la fuente de la intrínseca dipolo magnético es actual.

El uso de algunos delta de Dirac "magia" también hay una transformación muy interesante de la fórmula para el campo B usted ha citado, a saber: $$\textbf{B}(\textbf{r}) = \mu_0 \textbf{m}\delta(\textbf{r}) - \mu_0 \nabla\frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$$ El escalar $\phi(\textbf{r})= \frac{1}{4\pi} \frac{\textbf{m}\cdot \textbf{r}^0} {|\textbf{r}|^2}$ es, por supuesto, el potencial del dipolo $\textbf{m}$.

Ahora bien, si en lugar de un único dipolo $\textbf{m}$ tenemos una distribución tal que $d\textbf{m}=\textbf{M}dV$ entonces tenemos

$\textbf{B}(\textbf{r}) =\left\{\begin{matrix} \mu_0 \textbf{M}(\textbf{r})+ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\in V\\ \mu_0 \textbf{H}(\textbf{r}) & \textbf{r}\notin V \end{de la matriz}\right.$

La magnetización ocupa el 3d de la región de $V$ e las $\textbf{H}$ se define como el gradiente del potencial escalar $$\textbf{H}(\textbf{r})=-\nabla\phi(\textbf{r})$$ and $$\phi(\textbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{\textbf{r}'\in V} \frac{\textbf{M}\cdot (\textbf{r}-\textbf{r}')^0} {|\textbf{r}-\textbf{r}'|^2}dV$$