Dejemos que $r$ sea un radio dentro del $\alpha$ -haz de partículas lejos del eje del haz; y deja que $b$ ser la aproximación más cercana al núcleo de un $\alpha$ -partícula que viaja directamente hacia ella.
$$r=\frac{b}{2}\cot\frac{\phi}{2}$$
Introducir una función sigmoidea "unitaria" (es decir, tiene gradiente unitario en el origen, es impar, y tiende a ±1 cuando su argumento tiende a $\pm\infty$ ) $\digamma$ que "confina $r$ a $r\leq a$ . Esto podría ser $\arctan x$ o $\tanh x$ o $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ o cualquier cosa que se ajuste a la sigmoidez critærion; y establecer
$$r=a\digamma\left(\frac{b}{2a}\cot\frac{\phi}{2}\right).$$
Esto básicamente "aplasta" todo el arreglo en un círculo de radio $a$ con $a$ actuando como parámetro.
También deja que $\dot{N}$ denotan flujo & $\dot{n}$ denotan densidad de flujo & $\dot{n}_0$ sea el $\alpha$ -Densidad de flujo de partículas en el haz, & $\dot{N}_0$ sea el total de $\alpha$ -flujo de partículas en el haz. Tenemos entonces
$$\frac{d\dot{N}}{d\phi} = \frac{\dot{n}_0\pi ab}{2}\digamma\left(\frac{b}{2a}\cot\frac{\phi}{2}\right)\digamma'\left(\frac{b}{2a}\cot\frac{\phi}{2}\right)\csc^2\frac{\phi}{2}$$
Se puede ver que si $\digamma(x)$ tiende a la línea horizontal $y=\pm1$ incluso tan lento como $x^{-\epsilon}$ (epsilon un número positivo arbitrariamente pequeño, entonces el índice de la función resultante como $\phi\rightarrow 0$ será $-1+\epsilon$ por razón de $\digamma' ×\csc^2$ , por lo que la función total es integrable.
(Parece una especie de impar que la expresión explícita en términos de $\digamma$ y su derivada debe tener un valor independiente de la naturaleza precisa de $\digamma$ ... pero eso se aclara al observar que la integral es simplemente de $r\cdot dr$ ; también que en la medida en que ella misma es más pequeña su derivada es mayor, y viceversa, en la mayor parte de su rango).
Y luego
$$\begin{align}\frac{d\dot{N}}{d\Omega}&=\frac{d\dot{n}}{2\pi\sin\phi d\phi}=\frac{d\dot{n}}{4\pi\sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2} d\phi} \\&=\frac{\dot{n}_0\pi ab}{8}\digamma\left(\frac{b}{2a}\cot\frac{\phi}{2}\right)\digamma'\left(\frac{b}{2a}\cot\frac{\phi}{2}\right)\sec\frac{\phi}{2}\csc^3\frac{\phi}{2} \\&= \frac{\dot{N}_0\pi b}{8a}\digamma\left(\frac{b}{2a}\cot\frac{\phi}{2}\right)\digamma'\left(\frac{b}{2a}\cot\frac{\phi}{2}\right)\sec\frac{\phi}{2}\csc^3\frac{\phi}{2}\end{align}$$
aplicando la normalización, que ahora es una cuestión elemental - no es necesario hacer ninguna integración porque hemos hecho efectivamente la derivación por invertir la integral de normalización.
Expresándolo mediante el total de $\alpha$ -Densidad de flujo de partículas, cubre el escenario de que haya muchos núcleos en lugar de uno solo -los muchos "discos" de radio $a$ comportándose como un solo "disco con todo el flujo que lo atraviesa... excepto en la medida en que ya que muchos ocupan espacio lateralmente ¡! La cuestión de cómo el radio no cero - de hecho muchos átomos radio - actúa para difuminar el rayo. Todavía no he solucionado eso... pero lo que he hecho aquí es introducir un aproximadamente física plausible ajustar a la distribución - plausible en cuanto a que un $\alpha$ -una partícula con su trayectoria partiendo lateralmente de un núcleo será atrapada eventualmente en el campo de otra a una distancia de la primera que corresponde al parámetro $a$ - el radio del disco dentro del cual, en la derivación anterior, el campo se distorsiona ligeramente para caer a cero en el borde. Si $a$ ser mayor en una proporción considerable que $b$ que es físicamente realista, ya que en la realidad $b$ es mucho menos que la separación semi-interatómica ... por lo que la distribución será más o menos la misma que antes - sólo que ahora normalizado . Hablar cualitativamente La razón por la que la distribución en su untwoken tiene una singularidad (y una ^4 ) es que hay una infinidad (creciente) de desplazamientos laterales correspondientes a $\phi\rightarrow 0$ .
@Batominovski
Todavía no he probado (hasta el final) ese método con el Yukawa potencial. Encontré que cuando lo intenté, y comencé la derivación para $r$ en términos de $\phi$ obtuve una integral que no pude resolver. Incluso para el caso de una simple Coulomb potencial, tuve que salir a rueda Gradstein & Ryzhik ¡! La integral necesaria para la solución utilizando el potencial de Yukawa podría estar enterrada en algún lugar ... pero no pude encontrarla en el tiempo. El Integrador Wolfram ¡se rindió ante el fantasma! Pero entonces... Puede que esté utilizando un método innecesariamente duro para resolver la desviación en términos de distancia perpendicular del núcleo desde la trayectoria no desviada de $\alpha$ -partícula (¿no es "parámetro de impacto" el nombre correcto para eso?) - Yo hago ese tipo de cosas a veces. ¡Si alguien conoce un método sencillo, por favor dígame!
Pero el método del potencial de Yukawa se parece mucho al mío en muchos aspectos, con su único mejor ajuste parámetro.
Y eso
$$(\frac{2mV_0}{\hbar^2\mu})^2\frac{1}{(2k^2(1-\cos\theta)+\mu^2)^2}$$
es exactamente el tipo de expresión que estaba buscando. Pero todavía no he descubierto la maquinaria matemática precisa para realmente obteniendo de la misma. Además, me he dado cuenta de que quita el poste en la densidad (densidad del ángulo sólido $d\dot{N}/d\Omega$ ) la propia distribución . Mi solución por eso sigue siendo singular (o más bien puede todavía ser - este hace dependen de la elección de $\digamma$ ), y depende del factor $2\pi\sin\phi$ (¡todavía aferrado a la notación de Rutherford!) que surge en la integración sobre una esfera para la integrabilidad.
En realidad, buscándolo, ni siquiera lo hacen, el clásico camino en todos . Haciendo la forma clásica, conservando el momento y la energía alrededor del núcleo, la integral se obtiene
$$\int\frac{dr}{r\sqrt{r^2 -br\exp(-kr)-a^2}}$$
con $a$ el parámetro de impacto, se obtiene. No puedo encontrar esto en Gradsteyn & Ryzhyk (¿cuántas "i" e "y" hay en la ortografía correcta de eso? Wolfram Online Integrator informa de un error "¡Tiempo de cálculo excedido!". Está bien - aunque un poco incómodo - con $k=0 \therefore$ el factor exponencial $=1$ en él.
También el $b$ en esto no es lo mismo $b$ como en la forma no Yukawa-izada de este problema & simplemente traído por de ella: más bien $b$ estará ahora dada por un lambertw función ... pero eso no es tan malo en absoluto. De hecho, sólo será
$$\frac{w(kb_0)}{k} ,$$
con $b_0$ siendo el $b$ en el no Yukawa-izado forma. La aproximación más cercana de la partícula α que está bien dentro del blindaje corresponde a $kb_0$ siendo una pequeña fracción de 1, & por lo tanto $b$ no siendo mucho menos que $b_0$ ... $b≈b_0(1-kb_0(1-\frac{3}{2}kb_0(1-\frac{16}{9}kb_0)))$ De hecho.
Por casualidad, ¿alguien sabe cómo hacer la "f" especial de "función" en LateX ? Es el carácter 133 en ASCII.
